Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado:
alpha(t)=(a(cos t+t sen t), a(sen t-t cos t)) t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco da curva alpha(t)=(a(cos t + tsin t),;a(sin t - tcos t)) no intervalo [0,2pi]. O conteúdo necessário é a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas e o cálculo das derivadas.

Passo 2

Para curvas paramétricas alpha(t)=(x(t),y(t)), o comprimento de arco é dado por
L = integralt0^t1 |alpha'(t)|,dt = integralt0^t1 raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2,dt

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de cada componente. Para x(t)=a(cos t + tsin t):
x'(t)=al(-sin t + sin t + tcos tr)=a,tcos t
Para y(t)=a(sin t - tcos t):
y'(t)=al(cos t - (cos t - tsin t)r)=a,tsin t

Passo 4

Agora obtemos a norma do vetor derivada:
|alpha'(t)| = raiz(a,tcos t)^2 + (a,tsin t)^2 = a,traizcos^2 t + sin^2 t = a,t

Passo 5

Finalmente, integramos de 0 a 2pi:
L = integral0^2pi a,t,dt = a[t^22]0^2pi = acdot (2pi)^22 = 2pi^2,a

Resposta

O comprimento de arco é 2pi^2 a.

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