Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
f(x)=ch(x);

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a função f(x)=ch(x), que é a cosseno hiperbólica, e verificar se ela é admissível para a transformada de Laplace. Para isso vamos usar o conceito de função de ordem exponencial e a própria definição da transformada.

Passo 2

Uma função f(x) é dita de ordem exponencial a se existe constante M>0 tal que |f(x)|<= M e^a x para todo x>=0. No nosso caso ch(x)=tfrace^x+e^-x2, então
|ch(x)|=tfrace^x+e^-x2<= tfrace^x+e^x2 = e^x

Passo 3

Portanto f(x) é de ordem exponencial a=1, logo admissível desde que Re(s)>1, pois precisamos que o fator e^-s x domine e^x.

Passo 4

Agora usamos a definição da transformada de Laplace:
Lch(x)(s)=integral0^inftych(x)e^-s x,dx

Passo 5

Substituindo ch(x)=tfrace^x+e^-x2 temos
integral0^inftych(x)e^-s x,dx=12integral0^inftyl(e^x+e^-xr)e^-s x,dx=12integral0^inftyl(e^(1-s)x+e^-(1+s)xr)dx

Passo 6

Cada integral é uma exponencial simples. Para Re(s)>1 vale:
integral0^inftye^(1-s)xdx=1s-1,integral0^inftye^-(1+s)xdx=1s+1

Passo 7

Somando e multiplicando por 1/2 resulta
Lch(x)(s)=12l(1s-1+1s+1r)=ss^2-1

Resposta

Para Re(s)>1, a transformada de Laplace de ch(x) é
Lch(x)(s)=ss^2-1

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