Calcule integralgamma x d x+y d y, sendo gamma dada por x=t^2 e y=sen t, 0 <= t <= pi2.
Calcule integralgamma x d x-y d y, em que gamma é o o segmento de extremidades (1,1) e(2,3), percorrido no sentido de (1,1) para (2,3).
Calcule integralgamma x d x+y d y+z d z, em que gamma é o segmento de extremidades (0,0,0) e( 1,2,1 ), percorrido no sentido de ( 1,2,1 ) para (0,0,0).

Passo 1

Temos três integrais de linha para calcular, todas do tipo integralgamma P,dx+Q,dy (e no último caso integralgamma P,dx+Q,dy+R,dz). O que vamos fazer em cada caso é:
  1. Parametrizar a curva gamma.
  2. Calcular dx, dy (e dz, se for o caso).
  3. Substituir tudo na integral e integrar em relação ao parâmetro.

Passo 2

Integral integralgammax,dx+y,dy com gammacolon x=t^2,;y=sin t,;0<= t<=pi2.
Temos
dx = 2t,dt, dy=cos t,dt,
então
x,dx+y,dy = t^2cdot(2t,dt)+sin tcdot(cos t,dt) =2t^3,dt+sin tcos t,dt
Integramos de 0 a pi2:
integral0^pi22t^3,dt +integral0^pi2sin tcos t,dt =l[tfract^42r]0^pi2 +l[tfracsin^2t2r]0^pi2 =l(pi2r)^42+12 =pi^432+12

Passo 3

Integral integralgammax,dx - y,dy em gamma segmento de (1,1) a (2,3).
Parametrizamos por r(t)=(1+t,;1+2t), 0<= t<=1. Então
x=1+t, y=1+2t, dx=dt, dy=2,dt,
e
x,dx - y,dy =(1+t),dt-(1+2t),2,dt =(-1-3t),dt
Integrando de 0 a 1:
integral0^1(-1-3t),dt =l[-t-tfrac3t^22r]0^1 =-1-tfrac32 =-tfrac52

Passo 4

Integral integralgammax,dx+y,dy+z,dz em gamma segmento de (1,2,1) a (0,0,0).
Note que x,dx+y,dy+z,dz=dl(tfracx^2+y^2+z^22r), ou seja, é exata. Se phi=tfracx^2+y^2+z^22, então
integralgamma dphi = phil((0,0,0)r)-phil((1,2,1)r) =0-1^2+2^2+1^22 =-62 =-3

Resposta

(a) pi^432+12
(b) -tfrac52
(c) -3

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