Para cada uma das funções a seguir, determine:
(i) Os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente,
(ii) Os valores de máximo e mínimo local de
,
(iii) Os intervalos nos quais
possui concavidade para baixo ou para cima e os pontos de inflexão, se existirem.
(a)
(b)
.
©
(d)
(i) Os intervalos nos quais
(ii) Os valores de máximo e mínimo local de
(iii) Os intervalos nos quais
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede para cada função determinar (i) os intervalos de monotonidade usando a primeira derivada, (ii) os valores de máximo e mínimo locais a partir do teste da primeira derivada ou sinal de f’, e (iii) os intervalos de concavidade e pontos de inflexão usando a segunda derivada. Vamos usar regras de derivação para polinômios, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas, além dos testes de sinal de f’ e f’’.
Passo 2
Para f(x)=x{4}-2x{2}+3 calculamos
Os pontos críticos são x=-1,0,1. Testando f’ nos intervalos: decrescente em (-∞,-1), crescente em (-1,0), decrescente em (0,1), crescente em (1,∞). Logo há mínimos locais em x=-1 e x=1 com f(-1)=f(1)=2, e máximo local em x=0 com f(0)=3. Em seguida
que zera em x=±1/√3. Como f’’>0 para |x|>1/√3, f é côncava para cima em (-∞,-1/√3)∪(1/√3,∞), e côncava para baixo em (-1/√3,1/√3). Pontos de inflexão em x=±1/√3.
Passo 3
Para f(x)=sen x+cos x em [0,2π] temos
Solução de f’=0 dá tan x=1 ⇒ x=π/4,5π/4. Testando o sinal de f’: crescente em (0,π/4), decrescente em (π/4,5π/4), crescente em (5π/4,2π). Então máximo local em x=π/4 com f(π/4)=√2, mínimo local em x=5π/4 com f(5π/4)=-√2. A segunda derivada é
Como f’’=0 ⇔ sen x+cos x=0 ⇒ x=3π/4,7π/4. f’’>0 (côncavo para cima) quando sen x+cos x<0, ou seja em (3π/4,7π/4), e côncavo para baixo em (0,3π/4)∪(7π/4,2π). Pontos de inflexão em x=3π/4 e 7π/4.
Passo 4
Para f(x)=e{2x}+e{-x} temos
Resolvendo f’=0 ⇒ 2e{2x}=e{-x} ⇒ e^{3x}=1/2 ⇒ x=-\tfrac{\ln2}{3}. Testes de sinal mostram decrescente em (-∞,-ln2/3) e crescente em (-ln2/3,∞), logo mínimo local em x=-ln2/3 com valor f(-ln2/3)=2{-2/3}+2{1/3}. A segunda derivada
para todo x, então f é côncava para cima em ℝ e não há ponto de inflexão.
Passo 5
Para f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}} com domínio x>0, escrevemos f(x)=x^{-1/2}\ln x e
Zerando f’⇒ ln x=2 ⇒ x=e^{2}. Como f’>0 em (0,e^{2}) e f’<0 em (e^{2},∞), há máximo local em x=e^{2} com f(e^{2})=2/e. Para a segunda derivada obtém-se
que zera em ln x=8/3 ⇒ x=e^{8/3}. Logo f é côncava para baixo em (0,e^{8/3}) e para cima em (e^{8/3},∞), com ponto de inflexão em x=e^{8/3}.
Resposta
a) Para f(x)=x{4}-2x{2}+3: crescente em (-1,0)∪(1,∞), decrescente em (-∞,-1)∪(0,1); mínimos locais em x=±1 com f(±1)=2; máximo local em x=0 com f(0)=3; concavidade para cima em (-∞,-1/√3)∪(1/√3,∞), para baixo em (-1/√3,1/√3); pontos de inflexão em x=±1/√3.
b) Para f(x)=sen x+cos x em [0,2π]: crescente em (0,π/4)∪(5π/4,2π), decrescente em (π/4,5π/4); máximo local em x=π/4 com f(π/4)=√2; mínimo local em x=5π/4 com f(5π/4)=-√2; concavidade para cima em (3π/4,7π/4), para baixo em (0,3π/4)∪(7π/4,2π); pontos de inflexão em x=3π/4,7π/4.
c) Para f(x)=e{2x}+e{-x}: decrescente em (-∞,-ln2/3), crescente em (-ln2/3,∞); mínimo local em x=-ln2/3 com f(-ln2/3)=2{-2/3}+2{1/3}; côncava para cima em ℝ; sem ponto de inflexão.
d) Para f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}: crescente em (0,e^{2}), decrescente em (e^{2},∞); máximo local em x=e^{2} com f(e^{2})=2/e; concavidade para baixo em (0,e^{8/3}), para cima em (e^{8/3},∞); ponto de inflexão em x=e^{8/3}.
b) Para f(x)=sen x+cos x em [0,2π]: crescente em (0,π/4)∪(5π/4,2π), decrescente em (π/4,5π/4); máximo local em x=π/4 com f(π/4)=√2; mínimo local em x=5π/4 com f(5π/4)=-√2; concavidade para cima em (3π/4,7π/4), para baixo em (0,3π/4)∪(7π/4,2π); pontos de inflexão em x=3π/4,7π/4.
c) Para f(x)=e{2x}+e{-x}: decrescente em (-∞,-ln2/3), crescente em (-ln2/3,∞); mínimo local em x=-ln2/3 com f(-ln2/3)=2{-2/3}+2{1/3}; côncava para cima em ℝ; sem ponto de inflexão.
d) Para f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}: crescente em (0,e^{2}), decrescente em (e^{2},∞); máximo local em x=e^{2} com f(e^{2})=2/e; concavidade para baixo em (0,e^{8/3}), para cima em (e^{8/3},∞); ponto de inflexão em x=e^{8/3}.