Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
6. f(x)=x \sqrt{5-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=x\sqrt{5-x^2}
Conteúdo: estudo de domínio, derivada primeira para monotonicidade e pontos críticos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão, limites no infinito (ou nas fronteiras do domínio) e esboço do gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio de f exige 5-x^2\ge0, logo
-\,\sqrt{5}\;\le x\;\le\sqrt{5}.
Nos extremos do domínio temos
f(-\sqrt{5})=-\sqrt{5}\cdot0=0,\quad f(\sqrt{5})=\sqrt{5}\cdot0=0.
Não há limites em x\to\pm\infty porque o domínio é limitado.

Passo 3

Calcular a derivada primeira por regra do produto:
f(x)=x\,(5-x^2)^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) =\sqrt{5-x^2} +x\cdot\frac12(5-x^2)^{-1/2}\,(-2x) =\frac{5-2x^2}{\sqrt{5-x^2}}.
Os pontos críticos no interior do domínio satisfazem f'(x)=0, ou seja
5-2x^2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}.

Passo 4

Estudar o sinal de f'(x)=\dfrac{5-2x^2}{\sqrt{5-x^2}}\). O denominador é positivo para \(|x|<\sqrt{5}\). Assim: - Se \(|x|<\sqrt{5/2}\), então \(5-2x^2>0\) e \(f'(x)>0\). - Se \(\sqrt{5/2}<|x|<\sqrt{5}\), então \(5-2x^2<0\) e \(f'(x)<0\). Portanto \[\begin{cases} \text{\(f decrescente em }\bigl[-\sqrt{5},-\sqrt{5/2}\bigr],\ f crescente em\bigl[-\sqrt{5/2},\sqrt{5/2}\bigr],\ f decrescente em\bigl[\sqrt{5/2},\sqrt{5}\bigr]. \end{cases}]

Passo 5

Calcular a derivada segunda por quociente:
f''(x) =\frac{(-4x)(5-x^2)^{1/2}-(5-2x^2)\bigl(-x(5-x^2)^{-1/2}\bigr)}{5-x^2} =\frac{x\,(2x^2-15)}{(5-x^2)^{3/2}}.
Anulando o numerador, x=0 ou 2x^2-15=0. A segunda solução daria |x|=\sqrt{7{,}5}>\sqrt{5}, fora do domínio, logo só há mudança de concavidade em x=0.

Passo 6

Sinal de f''(x) (denominador sempre >0 em (-\,\sqrt{5},\sqrt{5})):
  • Para x<0, tem-se x<0 e 2x^2-15<0, logo f''(x)>0: concavidade para cima em (-\,\sqrt{5},0).
  • Para x>0, tem-se x>0 e 2x^2-15<0, logo f''(x)<0: concavidade para baixo em (0,\sqrt{5}).
    Ponto de inflexão em x=0, onde f(0)=0.

Passo 7

Avaliar f nos pontos mais importantes:
f\bigl(\pm\sqrt{5/2}\bigr) =\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}\;\sqrt{5-\tfrac{5}{2}} =\pm\frac{5}{2}.
Logo
f(-\sqrt{5/2})=-\tfrac{5}{2} \quad\text{(mínimo relativo)},\qquad f(\sqrt{5/2})=+\tfrac{5}{2} \quad\text{(máximo relativo)}.íá

Resposta

Domínio: \bigl[-\sqrt{5},\sqrt{5}\bigr].
Pontos críticos (interiores): x=\pm\sqrt{5/2}.
Monotonicidade:
f\text{ decrescente em }[-\sqrt{5},-\sqrt{5/2}],\quad f\text{ crescente em }[-\sqrt{5/2},\sqrt{5/2}],\quad f\text{ decrescente em }[\sqrt{5/2},\sqrt{5}].
Extremos relativos:
f(-\sqrt{5/2})=-\tfrac{5}{2}\quad(\min),\qquad f(\sqrt{5/2})=+\tfrac{5}{2}\quad(\max).
Concavidade: concava para cima em (-\sqrt{5},0), concava para baixo em (0,\sqrt{5}).
Ponto de inflexão: (0,0).
Valores nos extremos do domínio: f(\pm\sqrt{5})=0.
Não há limites em \pm\infty (domínio é limitado).
Esboço do gráfico: começa em (-\sqrt{5},0), decai até (-\sqrt{5/2},-5/2), sobe até (0,0) mudando de concavidade, continua subindo até (\sqrt{5/2},5/2), depois desce retornando a (\sqrt{5},0).

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