Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
8. f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x+5

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+5
determinando os pontos críticos (para monotonicidade), intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão (para concavidade), intervalos de concavidade e os limites em \pm\infty. Para isso, vamos usar derivadas primeira e segunda, além de comportamento de polinômios de grau ímpar.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}-3x^{2}-12x+5\bigr) =6x^{2}-6x-12.
Igualando a zero:
6x^{2}-6x-12=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}
x=\frac{1\pm3}{2}\;\Longrightarrow\;x=-1\quad\text{ou}\quad x=2.
Esses são os pontos críticos.

Passo 3

Para ver onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de
f'(x)=6(x+1)(x-2).
  • Se x<-1, (x+1)<0 e (x-2)<0, logo f'(x)>0.
  • Se -1<x<2, (x+1)>0 e (x-2)<0, logo f'(x)<0.
  • Se x>2, (x+1)>0 e (x-2)>0, logo f'(x)>0.
Portanto,
f é crescente em (-\infty,-1) e em (2,\infty),
f é decrescente em (-1,2).
Os valores de f nesses pontos são
f(-1)=2(-1)^{3}-3(-1)^{2}-12(-1)+5=-2-3+12+5=12,
f(2)=2\cdot8-3\cdot4-24+5=16-12-24+5=-15.
Logo temos um máximo local em (-1,12) e um mínimo local em (2,-15).

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para concavidade e inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}-6x-12\bigr) =12x-6.
Igualando a zero:
12x-6=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{6}{12}=\tfrac12.
Esse é o candidato a ponto de inflexão.

Passo 5

Analisamos o sinal de f''(x)=12x-6:
  • Se x<\tfrac12, então 12x-6<0, ou seja, f é côncava para baixo.
  • Se x>\tfrac12, então 12x-6>0, ou seja, f é côncava para cima.
O ponto de inflexão é \bigl(\tfrac12,f(\tfrac12)\bigr). Calculando
f\bigl(\tfrac12\bigr) =2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3}-3\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}-12\Bigl(\tfrac12\Bigr)+5 =\tfrac14-\tfrac34-6+5=-\tfrac32.
Então o ponto de inflexão é \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr).

Passo 6

Como f é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Passo 7

Resumo dos resultados:
  • Pontos críticos: (-1,12) (máximo local) e (2,-15) (mínimo local).
  • Crescimento: (-\infty,-1) e (2,\infty).
  • Decrescimento: (-1,2).
  • Ponto de inflexão: \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,\tfrac12), côncava para cima em (\tfrac12,\infty).
  • Limites: \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Com esses dados, o esboço do gráfico começa vindo de -\infty, sobe até o máximo em (-1,12), desce atravessando o ponto de inflexão em \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr), atinge o mínimo em (2,-15) e depois sobe para +\infty, trocando de concavidade em x=\tfrac12.

Resposta

Pontos críticos: (-1,12) (máx.) e (2,-15) (mín.).
Crescente em (-\infty,-1) e (2,\infty); decrescente em (-1,2).
Ponto de inflexão: \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr).
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,\tfrac12), côncava para cima em (\tfrac12,\infty).
Limites: \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Gráfico: sobe até (-1,12), depois desce passando por \bigl(\tfrac12,-\tfrac32\bigr), atinge (2,-15) e sobe para +\infty.

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