Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
9.
9.
Passo 1
O enunciado dá a função
de domínio
, e pede:
– pontos críticos;
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– pontos de inflexão;
– intervalos de concavidade;
– limites no infinito (e assíntotas);
– esboço do gráfico.
Para isso, vamos calcular e
, estudar seus sinais e depois analisar os comportamentos em
.
– pontos críticos;
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– pontos de inflexão;
– intervalos de concavidade;
– limites no infinito (e assíntotas);
– esboço do gráfico.
Para isso, vamos calcular
Passo 2
Calculemos a derivada primeira usando
Logo
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
, ou seja
O sinal de
é determinado por
:
– para ,
⇒
;
– para ,
⇒
.
Portanto
– cresce em
e
;
– decresce em
.
Em ocorre máximo local e em
mínimo local, com
– para
– para
Portanto
–
–
Em
Passo 3
Agora a derivada segunda. Derivando
por quociente, obtemos
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
é o de
:
– para ,
⇒ concavidade para baixo;
– para ,
⇒ concavidade para cima.
Assim há ponto de inflexão em , com
– para
– para
Assim há ponto de inflexão em
Passo 4
Estudemos agora os limites em
. Como
, temos
e de fato
logo a reta assintótica à direita é
.
Analogamente,
Analogamente,
com reta assintótica
.
Passo 5
Com tudo isso desenhamos o gráfico de
:
- Cresce em
, atinge máximo em , depois decresce até , onde há mínimo em , e em seguida cresce em . - É côncava para baixo em
, muda de concavidade em e é côncava para cima em . - Cruza a origem (inflexão em
). - Tem assíntotas oblíquas
à direita e à esquerda.
Resposta
Pontos críticos:
(máx.\ local) e
(mín.\ local).
Intervalos de crescimento: .
Intervalo de decrescimento: .
Ponto de inflexão: .
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
.
Assíntotas oblíquas: quando
e
quando
.
Gráfico: cresce até , decresce até
, cresce de novo; muda de concavidade em
.
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Ponto de inflexão:
Concavidade: côncava para baixo em
Assíntotas oblíquas:
Gráfico: cresce até