Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
9. f(x)=x-2 \arctan (x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x-2\arctan(x),
de domínio \mathbb{R}, e pede:
– pontos críticos;
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– pontos de inflexão;
– intervalos de concavidade;
– limites no infinito (e assíntotas);
– esboço do gráfico.
Para isso, vamos calcular f'(x) e f''(x), estudar seus sinais e depois analisar os comportamentos em \pm\infty.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira usando
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)\bigr)=\frac1{1+x^2}.
Logo
f'(x)=1-2\cdot\frac1{1+x^2} =\frac{(1+x^2)-2}{1+x^2} =\frac{x^2-1}{1+x^2}.
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0, ou seja
x^2-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
O sinal de f'(x) é determinado por x^2-1:
– para |x|>1, x^2-1>0 f'(x)>0;
– para |x|<1, x^2-1<0 f'(x)<0.
Portanto
f cresce em (-\infty,-1) e (1,\infty);
f decresce em (-1,1).
Em x=-1 ocorre máximo local e em x=1 mínimo local, com
f(-1)=-1-2\arctan(-1)=-1+2\cdot\frac\pi4=-1+\frac\pi2, \quad f(1)=1-2\cdot\frac\pi4=1-\frac\pi2.

Passo 3

Agora a derivada segunda. Derivando
f'(x)=\frac{x^2-1}{1+x^2}
por quociente, obtemos
f''(x) =\frac{2x(1+x^2)-(x^2-1)\,2x}{(1+x^2)^2} =\frac{4x}{(1+x^2)^2}.
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f''(x) é o de x:
– para x<0, f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo;
– para x>0, f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
Assim há ponto de inflexão em x=0, com
f(0)=0-2\arctan(0)=0.

Passo 4

Estudemos agora os limites em \pm\infty. Como \arctan(x)\to\pm\frac\pi2, temos
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\bigl(x-2\arctan(x)\bigr) =\lim_{x\to+\infty}\bigl(x-\pi\bigr)
e de fato
\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(x-\pi)\bigr]=0,
logo a reta assintótica à direita é y=x-\pi.
Analogamente,
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}\bigl(x+\,\pi\bigr),
com reta assintótica y=x+\pi.

Passo 5

Com tudo isso desenhamos o gráfico de f:
  • Cresce em (-\infty,-1), atinge máximo em \bigl(-1,-1+\tfrac\pi2\bigr), depois decresce até x=1, onde há mínimo em \bigl(1,1-\tfrac\pi2\bigr), e em seguida cresce em (1,\infty).
  • É côncava para baixo em (-\infty,0), muda de concavidade em (0,0) e é côncava para cima em (0,\infty).
  • Cruza a origem (inflexão em (0,0)).
  • Tem assíntotas oblíquas y=x-\pi à direita e y=x+\pi à esquerda.

Resposta

Pontos críticos: x=-1 (máx.\ local) e x=1 (mín.\ local).
Intervalos de crescimento: (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Intervalo de decrescimento: (-1,1).
Ponto de inflexão: (0,0).
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,0), côncava para cima em (0,\infty).
Assíntotas oblíquas: y=x-\pi quando x\to+\infty e y=x+\pi quando x\to-\infty.
Gráfico: cresce até \bigl(-1,-1+\tfrac\pi2\bigr), decresce até \bigl(1,1-\tfrac\pi2\bigr), cresce de novo; muda de concavidade em (0,0).

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