Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
10. f(x)=\frac{x+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=\frac{x+1}{x-1}
incluindo pontos críticos, monotonia, concavidade, pontos de inflexão e limites no infinito, para então esboçar seu gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas (primeira para monotonia, segunda para concavidade) e limites laterais.

Passo 2

Primeiro observamos o domínio e os assíntotas verticais. A função está definida sempre que o denominador é não nulo, isto é,
x\neq1.
Em x=1 há uma assíntota vertical.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira por quociente:
f'(x) =\frac{(1)\,(x-1)-(x+1)\,(1)}{(x-1)^2} =\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} =\frac{-2}{(x-1)^2}.

Passo 4

Como (x-1)^2>0 em todo domínio, tem-se f'(x)=-2/(x-1)^2<0 para todo x\neq1. Logo:
  • Não existem pontos críticos (não há solução de f'(x)=0).
  • f é estritamente decrescente em (-\infty,1) e em (1,\infty).

Passo 5

Agora a derivada segunda:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(-2(x-1)^{-2}\Bigr) =-2\cdot(-2)\,(x-1)^{-3} =\frac{4}{(x-1)^3}.
O sinal de f'' muda conforme x-1:
  • Se x<1, então (x-1)^3<0 e f''(x)<0: concavidade para baixo em (-\infty,1).
  • Se x>1, então (x-1)^3>0 e f''(x)>0: concavidade para cima em (1,\infty).
    Não há ponto de inflexão porque x=1 não pertence ao domínio.

Passo 6

Analisamos os limites para identificar assíntota horizontal e comportamento junto a x=1:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+1}{x-1}=1,
portanto há assíntota horizontal y=1.
Em x\to1^-,
f(x)=\frac{x+1}{x-1}\approx\frac{2}{\text{negativo pequeno}}\to -\infty,
e em x\to1^+,
f(x)=\frac{2}{\text{positivo pequeno}}\to +\infty.

Passo 7

Para esboçar:
  • Intercepto em x: x+1=0\implies x=-1, com f(-1)=0.
  • Intercepto em y: f(0)=1/(-1)=-1.
  • A função é uma hipérbole do tipo 1+\tfrac{2}{x-1} deslocada, sempre decrescente, com galhos em (-\infty,1) e (1,\infty), concavidade para baixo no ramo esquerdo e para cima no ramo direito, aproximando-se de y=1 e explodindo em \pm\infty ao se aproximar de x=1.

Resposta

Pontos críticos: nenhum.
Monotonia: decrescente em (-\infty,1) e em (1,\infty).
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,1), côncava para cima em (1,\infty).
Pontos de inflexão: nenhum (domínio quebrado em x=1).
Assíntotas: vertical x=1, horizontal y=1.
Interceptos: (-1,0) e (0,-1).
Gráfico: hipérbole com galho à esquerda decrescente de y=1 a -\infty, e galho à direita decrescente de +\infty a y=1.

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