Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
10.
10.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
incluindo pontos críticos, monotonia, concavidade, pontos de inflexão e limites no infinito, para então esboçar seu gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas (primeira para monotonia, segunda para concavidade) e limites laterais.
Passo 2
Primeiro observamos o domínio e os assíntotas verticais. A função está definida sempre que o denominador é não nulo, isto é,
Em
há uma assíntota vertical.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira por quociente:
Passo 4
Como
em todo domínio, tem-se
para todo
. Logo:
- Não existem pontos críticos (não há solução de
). -
é estritamente decrescente em e em .
Passo 5
Agora a derivada segunda:
O sinal de
muda conforme
:
- Se
, então e : concavidade para baixo em . - Se
, então e : concavidade para cima em .
Não há ponto de inflexão porquenão pertence ao domínio.
Passo 6
Analisamos os limites para identificar assíntota horizontal e comportamento junto a
:
portanto há assíntota horizontal
.
Em ,
Em
e em
,
Passo 7
Para esboçar:
- Intercepto em
: , com . - Intercepto em
: . - A função é uma hipérbole do tipo
deslocada, sempre decrescente, com galhos em e , concavidade para baixo no ramo esquerdo e para cima no ramo direito, aproximando-se de e explodindo em ao se aproximar de .
Resposta
Pontos críticos: nenhum.
Monotonia: decrescente em e em
.
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
.
Pontos de inflexão: nenhum (domínio quebrado em ).
Assíntotas: vertical , horizontal
.
Interceptos: e
.
Gráfico: hipérbole com galho à esquerda decrescente de a
, e galho à direita decrescente de
a
.
Monotonia: decrescente em
Concavidade: côncava para baixo em
Pontos de inflexão: nenhum (domínio quebrado em
Assíntotas: vertical
Interceptos:
Gráfico: hipérbole com galho à esquerda decrescente de