Para cada uma das funções a seguir verifique se a função é contínua em cada um dos intervalos indicados.
h(x)=ccc2 x-3 & se & x<-2 x-5 & se & -2 <= x <= 1 3-x & se & 1<x ;]-infty, 1[, ]-2, infty[, ]-2,1[, [-2,1[.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
h(x)= 2x-3, & x< -2, x-5, & -2<= x<=1, 3-x, & x>1,
e pede para verificar a continuidade de h nos intervalos
,]-infty,1[, ,]-2,infty[, ,]-2,1[ e ,[-2,1[.
O conteúdo é continuidade de funções piecewise: sabemos que funções lineares são contínuas nos seus domínios, mas podemos ter pontos de descontinuidade nos junções x=-2 e x=1.

Passo 2

Em cada região onde h é dada por uma reta ( 2x-3, x-5, 3-x), a função é contínua em tudo que for interior àquela região, pois retas são polinômios de grau 1 e polinômios são contínuos em R. Logo, eventuais falhas de continuidade só podem ocorrer em x=-2 e em x=1.

Passo 3

Vamos checar x=-2.
Limite pela esquerda:
limxto(-2)^-h(x)=limxto(-2)^-(2x-3)=2(-2)-3=-7
Valor em x=-2:
h(-2)=(-2)-5=-7
Limite pela direita:
limxto(-2)^+h(x)=limxto(-2)^+(x-5)=-2-5=-7
Como todos dão -7, h é contínua em -2.

Passo 4

Agora x=1.
Limite pela esquerda:
limxto1^-h(x)=limxto1^-(x-5)=1-5=-4
Valor em x=1:
h(1)=1-5=-4
Limite pela direita:
limxto1^+h(x)=limxto1^+(3-x)=3-1=2
Como -4neq2, há salto em x=1 e h é descontinua em 1.

Passo 5

Sabendo que h falha só em x=1, basta ver se cada intervalo contém 1:
– Se não contiver 1, h é contínua nele.
– Se contiver 1, h não é contínua nele.

Resposta

,]-infty,1[: contínua
,]-2,infty[: não contínua (contém 1)
,]-2,1[: contínua
,[-2,1[: contínua

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