Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função no número indicado:
y=2 x+1+6x, com x=2

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
y = 2x + 1 + 6x
no ponto em que x=2. Para isso, precisamos do declive da reta tangente (ou seja, da derivada da função) e do ponto de tangência.

Passo 2

Calculamos a derivada y' usando regras básicas: a derivada de 2x é 2, a de 1 é 0 e a de tfrac6x é -6x^-2. Logo,
y' = 2 - 6x^2

Passo 3

Para obter o declive da reta tangente em x=2, basta avaliar y' nesse ponto:
y'(2) = 2 - 62^2 = 2 - 64 = 2 - tfrac32 = tfrac12
Portanto, a inclinação da reta tangente é m = tfrac12.

Passo 4

Precisamos também da ordenada y correspondente a x=2. Substituindo na função original:
y(2) = 2cdot 2 + 1 + 62 = 4 + 1 + 3 = 8
O ponto de tangência é (2,8).

Passo 5

Usamos a forma ponto-de-clive da equação da reta tangente:
y - y0 = m,(x - x0),
onde (x0,y0)=(2,8) e m=tfrac12. Assim,
y - 8 = tfrac12,(x - 2)
Para simplificar, escrevemos em forma explícita:
y = tfrac12 x + 7

Resposta

A equação da reta tangente é
y - 8 = tfrac12,(x - 2) ou, equiva<=ntemente, y = tfrac12 x + 7

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