Resolva os PVI’s sabendo que são EDO’s lineares.
l(1+x^2) y^prime+4 x y=1(1+x^2)^2 y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
(1+x^2),y' + 4x,y = 1(1+x^2)^2, y(1)=0
Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão y' + P(x),y = Q(x), encontrar o fator integrante mu(x), multiplicar a equação por mu, integrar e usar a condição inicial.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 1+x^2, obtemos a forma padrão
y' + 4x1+x^2,y = 1(1+x^2)^3

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 4x1+x^2,dxr) = expl(2ln(1+x^2)r) = (1+x^2)^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por (1+x^2)^2, o lado esquerdo vira
(1+x^2)^2y' + 4x(1+x^2),y = ddxl[(1+x^2)^2yr],
e o lado direito fica
(1+x^2)^2,1(1+x^2)^3 = 11+x^2
Integramos ambos os lados:
ddxl[(1+x^2)^2yr] = 11+x^2 Longrightarrow (1+x^2)^2y = integral 11+x^2,dx + C = arctan x + C

Passo 5

Usando y(1)=0 na relação (1+1^2)^2y(1)=arctan(1)+C
4cdot 0 = pi4 + C Longrightarrow C = -pi4
Logo a solução geral satisfaz o PVI.

Resposta

y(x) = arctan x - tfracpi4(1+x^2)^2

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