Para cada uma das funções de segundo grau a seguir, determine os zeros (se existirem), o vértice da parábola e esboce o gráfico:
f(x)=-x^{2}+2 x+3

Passo 1

O enunciado fornece a função quadrática
f(x) = -x^2 + 2x + 3
e pede (i) os zeros (raízes), (ii) o vértice da parábola e (iii) um esboço do gráfico. Como é um polinômio de segundo grau com coeficiente a=-1, vamos usar a fórmula de Bhaskara para as raízes e as fórmulas do vértice.

Passo 2

Para encontrar os zeros resolvemos
-x^2 + 2x + 3 = 0.
Multiplicando por -1 fica
x^2 - 2x - 3 = 0.
O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = 4 + 12 = 16.
Depois, as raízes são
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2\cdot1} = \frac{2 \pm 4}{2},
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x_1 = \frac{2+4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2-4}{2} = -1.

Passo 3

O vértice (h,k) de uma parábola f(x)=ax^2+bx+c é dado por
h = -\frac{b}{2a}, \quad k = f(h).
Aqui a=-1 e b=2, então
h = -\frac{2}{2\cdot(-1)} = 1.
Para k:
k = f(1) = -(1)^2 + 2\cdot1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.
Assim, o vértice é (1,4).

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
– A parábola abre para baixo (pois a=-1<0).
– Cruzamentos com o eixo x em (-1,0) e (3,0).
– Cruzamento com o eixo y em f(0)=3.
– Vértice no ponto (1,4) e eixo de simetria x=1.
Pontos-chave para o desenho: ( -1,0 ),\;(0,3),\;(1,4),\;(2,3),\;(3,0).
Com esses pontos você desenha uma curva em “arco” voltado para baixo.

Resposta

Zeros: x=-1 e x=3.
Vértice: (1,4).
Gráfico: parábola voltada para baixo, passando por (-1,0), (0,3), vértice (1,4), (2,3), (3,0).

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