Nos exercícios a seguir, calcule as integrais.
\int_{1}^{2}\left(t^{2} \vec{i}+t \sqrt{t^{2}-1} \vec{j}+t \operatorname{sen}(\pi t) \vec{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do vetor
\int_{1}^{2}\bigl(t^{2}\,\vec{i}+t\sqrt{t^{2}-1}\,\vec{j}+t\operatorname{sen}(\pi t)\,\vec{k}\bigr)\,dt.
O conteúdo é integração de função vetorial, que se faz componente a componente. Precisamos achar as antiderivadas de t^2, de t\sqrt{t^2-1} e de t\operatorname{sen}(\pi t).

Passo 2

Vamos integrar a componente em \vec{i}:
\int t^2\,dt = \frac{t^3}{3} + C_1.

Passo 3

Para a componente em \vec{j}, faça u = t^2 - 1, de modo que du = 2t\,dt. Então
\int t\sqrt{t^2-1}\,dt = \frac12\int u^{1/2}\,du = \frac12\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C_2 = \frac{1}{3}(t^2-1)^{3/2} + C_2.

Passo 4

Para a componente em \vec{k}, use integração por partes com u = t e dv = \operatorname{sen}(\pi t)\,dt. Então du = dt e v = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t), e
\int t\operatorname{sen}(\pi t)\,dt = uv - \int v\,du = -\frac{t}{\pi}\cos(\pi t) + \frac{1}{\pi}\int \cos(\pi t)\,dt = -\frac{t}{\pi}\cos(\pi t) + \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{\pi}\operatorname{sen}(\pi t) + C_3 = -\frac{t}{\pi}\cos(\pi t) + \frac{1}{\pi^2}\operatorname{sen}(\pi t) + C_3.

Passo 5

Agora avaliamos cada antiderivada de t=1 até t=2:
  1. Componente \vec{i}:
\Bigl[\tfrac{t^3}{3}\Bigr]_1^2 = \frac{8}{3}-\frac{1}{3} = \frac{7}{3}.
  1. Componente \vec{j}:
\Bigl[\tfrac{1}{3}(t^2-1)^{3/2}\Bigr]_1^2 = \frac{1}{3}\bigl(3^{3/2}-0\bigr) = \frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3} = \sqrt{3}.
  1. Componente \vec{k}:
\Bigl[-\tfrac{t}{\pi}\cos(\pi t)+\tfrac{1}{\pi^2}\operatorname{sen}(\pi t)\Bigr]_1^2 = \Bigl(-\tfrac{2}{\pi}\cos2\pi+0\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{\pi}\cos\pi+0\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{2}{\pi}\cdot1\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{1}{\pi}\cdot(-1)\Bigr) = -\frac{2}{\pi}-\frac{1}{\pi} = -\frac{3}{\pi}.

Resposta

\int_{1}^{2}\bigl(t^{2}\,\vec{i}+t\sqrt{t^{2}-1}\,\vec{j}+t\operatorname{sen}(\pi t)\,\vec{k}\bigr)\,dt = \frac{7}{3}\,\vec{i} \;+\;\sqrt{3}\,\vec{j}\;-\;\frac{3}{\pi}\,\vec{k}.

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