Dados os números complexos a=3+8 i, b=9 i, c=-1-3 i e d=3 e^{i 45^{o}}, determine:
x=\frac{c}{d}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos e pede x=\dfrac{c}{d}. Dados fornecidos:
  • c=-1-3i.
  • d=3e^{i45^{o}}.
A única pergunta é calcular x=\dfrac{c}{d}.

Passo 2

Plano para resolver (explicando o raciocínio de forma prática): como d está em forma exponencial/polar, uma opção é converter d para forma retangular e então calcular a divisão multiplicando por recíproco. Vou transformar d para forma retangular usando \cos e \sin:
d = 3e^{i45^{o}} = 3\big(\cos45^{o}+i\sin45^{o}\big).
Como \cos45^{o}=\sin45^{o}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
d = 3\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\,(1+i).
Logo
\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}(1+i)} = \dfrac{2}{3\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{1+i}.

Passo 3

Agora precisamos de \dfrac{1}{1+i}. Para dividir por um número complexo é prático multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1+i é 1-i. Então
\dfrac{1}{1+i} = \dfrac{1+i}{(1+i)(1-i)}\cdot(1-i) = \dfrac{1-i}{(1)^2-(i)^2} = \dfrac{1-i}{1-(-1)} = \dfrac{1-i}{2}.
Explicando rapidamente: (1+i)(1-i)=1-i+i-i^2=1- i^2 =1-(-1)=2.

Passo 4

Substituindo isso em \dfrac{1}{d}:
\dfrac{1}{d} = \dfrac{2}{3\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1-i}{2} = \dfrac{1}{3\sqrt{2}}(1-i).
Portanto
x=\dfrac{c}{d} = c\cdot \dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{3\sqrt{2}}\,c(1-i).

Passo 5

Vamos multiplicar c(1-i) explicitamente, passo a passo:
c(1-i)=(-1-3i)(1-i).
Distribuindo:
(-1-3i)(1-i) = -1\cdot(1-i) -3i\cdot(1-i).
Calcule cada parte:
-1\cdot(1-i) = -1 + i, \qquad -3i\cdot(1-i) = -3i + 3i^2 = -3i + 3(-1) = -3i -3.
Somando:
(-1 + i) + (-3 -3i) = (-1-3) + (i-3i) = -4 -2i.
Logo c(1-i) = -4 -2i.

Passo 6

Agora volte ao fator \dfrac{1}{3\sqrt{2}}:
x = \dfrac{1}{3\sqrt{2}}(-4 -2i) = -\dfrac{4}{3\sqrt{2}} - \dfrac{2}{3\sqrt{2}}\,i.
Podemos simplificar o fator \dfrac{2}{3\sqrt{2}} multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}:
\dfrac{2}{3\sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3\cdot 2} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}.
E \dfrac{4}{3\sqrt{2}} = 2\cdot \dfrac{2}{3\sqrt{2}} = 2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
Portanto
x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3} - \dfrac{\sqrt{2}}{3}\,i.

Resposta

x=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\,i

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