Dados os números complexos a=3+8 i, b=9 i, c=-1-3 i e d=3 e^{i 45^{o}}, determine:
y=\frac{b}{c}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos e pede y=\dfrac{b}{c}. Dados relevantes:
  • b=9\,i
  • c=-1-3\,i
A pergunta é calcular o quociente
y=\frac{b}{c}.

Passo 2

Como dividimos dois números complexos na forma x+iy? Regra prática: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para “racionalizar” (tirar a parte imaginária do denominador). Se z=x+iy, seu conjugado é \overline{z}=x-iy e vale
z\overline{z}=x^2+y^2=\lvert z\rvert^2,
que é um número real. Assim, para y=\dfrac{b}{c} podemos usar a fórmula
\frac{b}{c}=\frac{b\overline{c}}{c\overline{c}}=\frac{b\overline{c}}{\lvert c\rvert^2}.
Isto nos dá um denominador real e permite separar a parte real e imaginária do resultado.

Passo 3

Calcular o conjugado de c. Como c=-1-3\,i, o conjugado é
\overline{c}=-1+3\,i.
Agora multiplico b por \overline{c} e também calculo c\overline{c}:
b\overline{c}=(9\,i)(-1+3\,i),
c\overline{c}=(-1-3\,i)(-1+3\,i).

Passo 4

Fazer as multiplicações passo a passo.
Numerador:
(9\,i)(-1+3\,i)=9\,i\cdot(-1)+9\,i\cdot(3\,i)=-9\,i+27\,i^2.
Lembrando que i^2=-1, temos
-9\,i+27\,i^2=-9\,i+27(-1)=-9\,i-27.
Portanto o numerador é -27-9\,i.
Denominador:
(-1-3\,i)(-1+3\,i)=(-1)^2+(3)^2=1+9=10,
pois (a-bi)(a+bi)=a^2+b^2. Então o denominador é 10.

Passo 5

Dividindo numerador e denominador:
y=\frac{-27-9\,i}{10}=-\frac{27}{10}-\frac{9}{10}\,i.
Podemos também fatorar -\dfrac{9}{10}:
y=-\frac{9}{10}(3+i),
mas a forma padrão é a forma retangular com parte real e imaginária separadas.

Resposta

-\dfrac{27}{10}-\dfrac{9}{10}\,i

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