Derive as funçöes trigonométricas
f(x)=\frac{x}{2-\tan x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x) = \frac{x}{2 - \tan x}.
O conteúdo principal que vamos usar é a regra do quociente, além das derivadas básicas de x e de \tan x.

Passo 2

Na regra do quociente, se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
Aqui escolhemos
u(x) = x, \quad v(x) = 2 - \tan x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1,
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2 - \tan x\bigr) = 0 - \operatorname{sec}^2 x = -\operatorname{sec}^2 x,
pois \frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} = \frac{1\cdot(2 - \tan x) - x\cdot(-\operatorname{sec}^2 x)}{(2 - \tan x)^2}.
No numerador simplificamos o sinal:
1\cdot(2 - \tan x) - x\cdot(-\operatorname{sec}^2 x) = 2 - \tan x + x\,\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Portanto, a forma final da derivada é
f'(x) = \frac{2 - \tan x + x\,\operatorname{sec}^2 x}{(2 - \tan x)^2}.

Resposta

f'(x) = \frac{2 - \tan x + x\,\operatorname{sec}^2 x}{(2 - \tan x)^2}.

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