Determine a temperatura u(x, t) em uma haste de comprimento L, se a temperatura inicial é f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0<x<1 \\\\ 0,1<x<2\end{array}\right., e se as extremidades x=0 e x=2 são isoladas (ou seja, u_{x}(0, t)= \left.u_{x}(0, t)=0\right). Determine u(x, t).

Passo 1

O problema é a equação de calor unidimensional
u_t = u_{xx},\quad 0<x<2,\;t>0,
com condições de contorno isoladas (Neumann)
u_x(0,t)=0,\quad u_x(2,t)=0
e condição inicial
f(x)=\begin{cases} x,&0<x<1,\\\\ 0,&1<x<2. \end{cases}
O método será separação de variáveis e expansão de f(x) em série de cossenos no intervalo [0,2].

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,e^{-\lambda_n t}.
As condições de contorno Neumann levam aos autovalores
\lambda_n=\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)^2,\quad n=0,1,2,\dots
e funções próprias \cos(\tfrac{n\pi x}{2}). Resta determinar os coeficientes A_n de modo que
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).

Passo 3

No caso Neumann em [0,2] vale
A_0=\frac{1}{2}\,\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)\,dx, \qquad A_n=\frac{2}{2}\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx \quad(n\ge1).
Como f(x)=0 em (1,2),
\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)dx =\int_{0}^{1}x\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos separadamente
A_0=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}x\,dx =\frac{1}{4}\cdot\frac{1^2}{2} =\frac{1}{8}.
Para n\ge1, use integração por partes com a = \tfrac{n\pi}{2}:
\int_{0}^{1}x\cos(ax)\,dx =\frac{\sin(a)}{a}+\frac{\cos(a)-1}{a^2}.
Logo, com a=\tfrac{n\pi}{2},
A_n =\int_{0}^{1}x\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx =\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{\tfrac{n\pi}{2}} +\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-1}{\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2}.
Simplificando,
A_n =\frac{2}{n\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr) +\frac{4}{n^2\pi^2}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-1\Bigr).

Passo 5

A solução completa fica
u(x,t) =A_0 +\sum_{n=1}^{\infty} A_n\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr)\, \exp\!\Bigl(-\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2t\Bigr),
com os coeficientes A_0 e A_n dados acima.

Resposta

u(x,t) =\frac{1}{8} +\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[ \frac{2}{n\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr) +\frac{4}{n^2\pi^2}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-1\Bigr) \Biggr] \cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr) \exp\!\Bigl(-\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2t\Bigr).

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