Para cada uma das funções z=f(x, y), determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f :
f(x, y)=1-x-y

Passo 1

Estamos lidando com a função z = f(x,y) = 1 - x - y. O conteúdo é geometria de superfícies em R^3 e precisamos: determinar o domínio, as curvas de nível (níveis de z=c) e os traços verticais (interseções com planos x = x0 e y = y0), além de esboçar o gráfico.

Passo 2

Como f(x,y) é um polinômio em x e y, não há restrições de domínio:
Dom(f) = R^2

Passo 3

Para achar as curvas de nível, fixamos f(x,y)=c. Logo:
1 - x - y = c Longrightarrow x + y = 1 - c

Passo 4

Cada curva de nível é, no plano (x,y), uma reta de coeficiente angular -1 e afastamento 1-c da origem.

Passo 5

Para os traços verticais, fixamos uma das variáveis e vemos a curva no plano restante:
  • Para x=x0 fixo,
z = 1 - x0 - y,
é uma reta no plano (y,z) de inclinação -1 em relação ao eixo y.
- Para y=y0 fixo,
z = 1 - x - y0,
é uma reta no plano (x,z) também de inclinação -1 em relação ao eixo x.

Passo 6

Geométricamente, no plano xy o domínio é todo o plano, as curvas de nível são retas paralelas de equação x+y=constante, e nos planos verticais x=x0 ou y=y0 temos retas inclinadas de coeficiente -1.
O gráfico de z=1-x-y é um plano inclinado que intercepta os eixos em z(1,0)=0, z(0,1)=0 e quando x=y=0 intercepta z=1.

Resposta

Domínio: R^2. Curvas de nível: retas x+y=1-c para cada nível z=c. Traços verticais: retas de inclinação -1 nos planos x=x0 e y=y0. Gráfico: plano inclinado em R^3 com interceptos (0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0).

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