Suponha que
seja um inteiro não negativo. Determine os valores de
de modo que
possua apenas soluções reais. Justifique sua resposta matematicamente.
Passo 1
O enunciado pede para achar, dado um inteiro não negativo
, em que casos a equação
tem apenas soluções reais. O conteúdo envolve números complexos e raízes da unidade, e vamos usar a forma polar de um número complexo e a ideia de raízes n-ésimas de 1.
Passo 2
Escrevemos um número complexo em forma polar como
. A equação
implica
. Como
para qualquer inteiro
, igualamos módulo e argumento:
– Módulo: leva a
(porque
).
– Argumento: , logo
, com
.
– Módulo:
– Argumento:
Passo 3
Portanto as soluções são as raízes da unidade:
Para que todas as
sejam reais precisamos que
para todo
. Isso significa $$\frac{2\pi k}{n} = m\pi,\quad m\in\mathbb{Z}.
$$Ou seja,
deve ser inteiro para todo
.
Passo 4
Para
isso dá
, logo
divide
. Como
é não negativo, as únicas possibilidades são
ou
.
Passo 5
Verificando:
– Se , há só a solução
, que é real.
– Se , as soluções são
e
, ambas reais.
Para surgem raízes não reais.
– Se
– Se
Para