Suponha que n seja um inteiro não negativo. Determine os valores de n de modo que z^n= possua apenas soluções reais. Justifique sua resposta matematicamente.

Passo 1

O enunciado pede para achar, dado um inteiro não negativo n, em que casos a equação z^n = 1 tem apenas soluções reais. O conteúdo envolve números complexos e raízes da unidade, e vamos usar a forma polar de um número complexo e a ideia de raízes n-ésimas de 1.

Passo 2

Escrevemos um número complexo em forma polar como z = re^itheta. A equação z^n = 1 implica r^n e^i ntheta = 1. Como 1 = 1cdot e^i2pi k para qualquer inteiro k, igualamos módulo e argumento:
– Módulo: r^n = 1 leva a r = 1 (porque r>=0).
– Argumento: ntheta = 2pi k, logo theta = 2pi kn, com k = 0,1,dots,n-1.

Passo 3

Portanto as soluções são as raízes da unidade: zk = e^i2pi kn, k=0,1,dots,n-1
Para que todas as zk sejam reais precisamos que sinl(tfrac2pi knr)=0 para todo k. Isso significa $$\frac{2\pi k}{n} = m\pi,\quad m\in\mathbb{Z}.
$$Ou seja, 2pi kn = mpi, minZ deve ser inteiro para todo 2k/n.

Passo 4

Para k=1 isso dá 2/ninZ, logo n divide 2. Como n é não negativo, as únicas possibilidades são n=1 ou n=2.

Passo 5

Verificando:
– Se n=1, há só a solução z=1, que é real.
– Se n=2, as soluções são z=1 e z=-1, ambas reais.
Para n>=3 surgem raízes não reais.

Resposta

n=1 ou n=2.

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