Use (5) para calcular todas as soluções de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções de
. O conteúdo é números complexos em forma trigonométrica e a aplicação do Teorema de De Moivre (item (5)). Para isso vamos escrever
em forma polar, elevar à quinta potência e depois extrair raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, representamos
em coordenadas polares. O módulo é
e o argumento, observando o ponto
, é
. Assim temos
Passo 3
Aplicamos o Teorema de De Moivre para elevar à quinta potência:
Como
, reduzimos o argumento a
. Então
Passo 4
Agora queremos
tal que
. Em forma polar a solução geral da raiz quadrada é
Calculamos (\sqrt{4\sqrt{2}}=(4\sqrt{2}){1/2}=2{5/4}.
Passo 5
Substituindo
e
obtemos as duas soluções:
Resposta
As soluções são
$$w=2{5/4}e{i7\pi/8}\quade\quad w=2{5/4}e{i15\pi/8}.
$$