Use (5) para calcular todas as soluções de w^2=(-1+i)^5.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções de w^2=(-1+i)^5. O conteúdo é números complexos em forma trigonométrica e a aplicação do Teorema de De Moivre (item (5)). Para isso vamos escrever -1+i em forma polar, elevar à quinta potência e depois extrair raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, representamos -1+i em coordenadas polares. O módulo é r=raiz(-1)^2+1^2=raiz2 e o argumento, observando o ponto (-1,1), é theta=3pi/4. Assim temos
-1+i=raiz2l(costfrac3pi4+isintfrac3pi4r)

Passo 3

Aplicamos o Teorema de De Moivre para elevar à quinta potência:
(-1+i)^5=igl(raiz2r)^5l(cos(5cdottfrac3pi4)+isin(5cdottfrac3pi4)r) =2^5/2l(costfrac15pi4+isintfrac15pi4r) 
Como tfrac15pi4=2pi+tfrac7pi4, reduzimos o argumento a 7pi/4. Então
(-1+i)^5=2^5/2l(costfrac7pi4+isintfrac7pi4r)=4raiz2,e^i7pi/4

Passo 4

Agora queremos w tal que w^2=4raiz2,e^i7pi/4. Em forma polar a solução geral da raiz quadrada é
w=raiz4raiz2;e^il(tfrac7pi8+kpir), k=0,1
Calculamos (\sqrt{4\sqrt{2}}=(4\sqrt{2}){1/2}=2{5/4}.

Passo 5

Substituindo k=0 e k=1 obtemos as duas soluções:
w0=2^5/4e^i7pi/8,
w1=2^5/4e^i(7pi/8+pi)=2^5/4e^i15pi/8 Estas são todas as soluções de w^2=(-1+i)^5.

Resposta

As soluções são
$$w=2{5/4}e{i7\pi/8}\quade\quad w=2{5/4}e{i15\pi/8}.
$$

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