Para cada uma das funções z=f(x, y), determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f :
f(x, y)=sen(y)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f(x,y)=sin(y): determinar domínio, curvas de nível, traços verticais e esboçar o gráfico. O conteúdo envolvido é função de duas variáveis, curvas de nível (níveis z=const) e seções ou traços (planos x=const e y=const).

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver onde sin(y) está definida. Como sin(y) é definida para todo yinR sem restrição em x, o domínio é R^2:
[
D = {(x,y)\in\mathbb{R}^2}.

Passo 3

As curvas de nível são dadas por f(x,y)=c, ou seja
sin(y)=c,
onde c varia em [-1,1]. Para cada valor fixo de c, as soluções são
y = arcsin(c) + 2pi k e y = pi - arcsin(c) + 2pi k,
com kinZ. Geometricamente, cada curva de nível é um conjunto de retas paralelas ao eixo x no plano (x,y), situadas em alturas y que satisfazem essas fórmulas.

Passo 4

Para os traços verticais em planos x=x0 (cortes na direção y- z), temos a curva
z = sin(y),
que é o seno habitual no plano (y,z), ou seja, uma onda senoidal independente de x0. Nos planos y=y0 (cortes na direção x- z), como f não depende de x, obtemos
z = sin(y0),
uma reta horizontal paralela ao eixo x no plano (x,z) à altura z=sin(y0).

Passo 5

Juntando tudo, o gráfico de z=sin(y) é uma superfície com cristas e vales senoidais ao longo do eixo y e invariância ao longo do eixo x. Geometricamente são “ripples” paralelas ao eixo x, de mesma forma que um tapete ondulado. No esboço, as linhas de crista estão em y=pi/2+2pi k com z=1 e vales em y=-pi/2+2pi k com z=-1, e entre elas o seno varia suavemente.

Passo 6

Com isso, temos domínio R^2, curvas de nível retas paralelas a x, traços senoidais em x=const e retas horizontais em y=const, e o esboço da superfície como uma onda infinita ao longo de y invariável em x.

Resposta

Domínio: R^2.
Curvas de nível: y=arcsin(c)+2pi k ou y=pi-arcsin(c)+2pi k, para cin[-1,1],;kin Z, retas paralelas a x.
Traços em x=x0: seno padrão z=sin(y) no plano (y,z).
Traços em y=y0: reta horizontal z=sin(y0) paralela a x.
Gráfico: superfície ondulada ao longo de y, invariável em x, com cristas em z=1 e vales em z=-1.

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