Para cada uma das funções
, determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de
:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
: determinar domínio, curvas de nível, traços verticais e esboçar o gráfico. O conteúdo envolvido é função de duas variáveis, curvas de nível (níveis
) e seções ou traços (planos
e
).
Passo 2
Para achar o domínio, basta ver onde
está definida. Como
é definida para todo
sem restrição em
, o domínio é
:
[
D = {(x,y)\in\mathbb{R}^2}.
D = {(x,y)\in\mathbb{R}^2}.
Passo 3
As curvas de nível são dadas por
, ou seja
onde
varia em
. Para cada valor fixo de
, as soluções são
com
. Geometricamente, cada curva de nível é um conjunto de retas paralelas ao eixo
no plano
, situadas em alturas
que satisfazem essas fórmulas.
Passo 4
Para os traços verticais em planos
(cortes na direção
-
), temos a curva
que é o seno habitual no plano
, ou seja, uma onda senoidal independente de
. Nos planos
(cortes na direção
-
), como
não depende de
, obtemos
uma reta horizontal paralela ao eixo
no plano
à altura
.
Passo 5
Juntando tudo, o gráfico de
é uma superfície com cristas e vales senoidais ao longo do eixo
e invariância ao longo do eixo
. Geometricamente são “ripples” paralelas ao eixo
, de mesma forma que um tapete ondulado. No esboço, as linhas de crista estão em
com
e vales em
com
, e entre elas o seno varia suavemente.
Passo 6
Com isso, temos domínio
, curvas de nível retas paralelas a
, traços senoidais em
e retas horizontais em
, e o esboço da superfície como uma onda infinita ao longo de
invariável em
.
Resposta
Domínio:
.
Curvas de nível: ou
, para
, retas paralelas a
.
Traços em : seno padrão
no plano
.
Traços em : reta horizontal
paralela a
.
Gráfico: superfície ondulada ao longo de , invariável em
, com cristas em
e vales em
.
Curvas de nível:
Traços em
Traços em
Gráfico: superfície ondulada ao longo de