Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty(raiz[n]2-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty(raiz[n]2-1) converge ou diverge. Isso cai no tema de séries numéricas e vamos precisar de um comportamento assintótico dos termos e do teste de comparação ou limite de comparação.

Passo 2

Observe que raiz[n]2=2^1/n. Podemos reescrever usando exponencial:
2^1/n=e^ln(2)/n

Passo 3

Para x pequeno vale a expansão de Taylor de ordem 1 de e^x, ou seja, e^xapprox1+x. Aqui x=ln(2)/n é pequeno quando ntoinfty. Logo:
2^1/n-1=e^ln(2)/n-1approxln(2)n

Passo 4

Como os termos an=raiz[n]2-1 são assintoticamente iguais a bn=ln(2)/n, usamos o teste de comparação limite:
limntoinftyanbn=limntoinfty2^1/n-1ln(2)/n=1

Passo 5

E como sum bn=ln(2)sum1n é a série harmônica (que diverge), conclui-se que sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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