Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty sinl(1/nr). Estamos no tema de séries numéricas e vamos usar o teste da comparação limite, apoiado na expansão em série de Taylor para senos.

Passo 2

Para valores pequenos de x vale a expansão de Taylor:
sin(x)=x-x^36+cdots
Logo, tomando x=1/n para n grande,
sinl(1/nr)=1n-16n^3+cdotssim1n
Isso mostra que os termos gerais se comportam como 1/n.

Passo 3

Pelo teste da comparação limite definimos an=sin(1/n) e bn=1/n. Calculamos
limntoinftyanbn=limntoinftysin(1/n)1/n=limxto0sin(x)x=1(finitio e não nulo)ã
Como sum bn=sum1/n é a série harmônica, que diverge, pela comparação limite a série sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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