Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=0^infty 1+2^n1+3^n

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos verificar se a série sumn=0^infty1+2^n1+3^n converge ou diverge. O tópico envolve testes de convergência de séries e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, examinamos o comportamento do termo geral an=1+2^n1+3^n. Para n grande, o termo 1 fica desprezível diante de 2^n e 3^n, então anapprox(2/3)^n. Além disso, limntoinftyan=0, condição necessária para convergência.

Passo 3

Agora, lembramos que a série geométrica sumn=0^infty(2/3)^n converge, pois a razão |2/3|<1.

Passo 4

Usamos o teste de comparação limite com bn=(2/3)^n. Calculamos
limntoinftyanbn=limntoinfty1+2^n1+3^ncdot3^n2^n=limntoinfty1/2^n+11/3^n+1=1
Como o limite é uma constante finita e positiva, a convergência de sum bn implica a convergência de sum an.

Resposta

A série é convergente.

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