Para cada uma das funções z=f(x, y), determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f :
f(x, y)=1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para a função de duas variáveis f(x,y)=1-x^2 que a gente determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais, além de esboçar geometricamente cada um desses conjuntos e o gráfico de f. Vamos usar conceitos de domínio de funções de várias variáveis, definição de curvas de nível (nível k com f(x,y)=k) e traços (cortes fixando x ou y).

Passo 2

O domínio de f(x,y)=1-x^2 é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão está bem definida. Aqui não há restrição de raízes ou logaritmos, então
Dom(f)=(x,y)inR^2mid1-x^2 existe =R^2

Passo 3

As curvas de nível são dadas por f(x,y)=k. Isto é,
1-x^2=kLongrightarrow x^2=1-k

Passo 4

Se 1-k<0 (isto é, k>1) não há pontos reais. Se 1-k=0 ( k=1) temos x=0 para todo y, ou seja, a reta vertical x=0. Se 1-k>0 ( k<1) então
x=pmraiz1-k, para todo y. Logo as curvas de nível são retas verticais no plano xy, duas para cada k<1 e uma ( x=0) para k=1.

Passo 5

Os traços verticais são os cortes de f por planos do tipo y=y0 ou x=x0:
  • Para y=y0 fixo,
z=f(x,y0)=1-x^2, que é uma parábola no plano xz, independente de y0.
- Para x=x0 fixo,
z=f(x0,y)=1-x0^2, que é uma reta paralela ao eixo y no plano z=constante.

Passo 6

Geometricamente, o gráfico de f é um cilindro parabólico: uma parábola z=1-x^2 que se estende sem variação ao longo do eixo y. O esboço é uma superfície em forma de “canal” que abre para baixo na direção x e é uniforme em y.

Resposta

Domínio: R^2. Curvas de nível: para cada k<1, retas x=pmraiz1-k; para k=1, reta x=0; para k>1, nenhuma. Traços: fixando y=y0, parábola z=1-x^2; fixando x=x0, reta z=1-x0^2 paralela a y. Gráfico: cilindro parabólico z=1-x^2 estendido ao longo de y.

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