Suponha que w seja localizado no primeiro quadrante e seja uma raiz cúbica de um númet complexo z. Pode existir uma segunda raiz cúbica de z localizada no primeiro quadrante? Ju tifique sua resposta matematicamente.

Passo 1

O enunciado diz que existe uma raiz cúbica w de z localizada no primeiro quadrante. O conteúdo é raízes de unidade em números complexos: para resolver, vamos usar forma polar e análise de argumentos.

Passo 2

Vamos escrever w em forma polar como w = r e^itheta com r>0 e 0. Como w^3 = z, temos z = r^3 e^i(3theta) As três raízes cúbicas de z são dadas por wk = r e^il(theta + tfrac2pi k3r), k=0,1,2, onde w0 = w.

Passo 3

Para k=1, o argumento é theta + tfrac2pi3, que varia entre tfrac2pi3 e tfrac2pi3+tfracpi2=tfrac7pi6. Isso está nos segundo ou terceiro quadrantes, não no primeiro.
Para k=2, o argumento é theta + tfrac4pi3, que varia entre tfrac4pi3 e tfrac4pi3+tfracpi2=tfrac11pi6. Isso está nos terceiro ou quarto quadrantes, também não no primeiro.

Resposta

Não. As outras raízes têm argumentos theta+tfrac2pi3 e theta+tfrac4pi3, que não pertencem ao intervalo (0,tfracpi2), logo não podem estar no primeiro quadrante.

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