Suponha que
seja localizado no primeiro quadrante e seja uma raiz cúbica de um númet complexo
. Pode existir uma segunda raiz cúbica de
localizada no primeiro quadrante? Ju tifique sua resposta matematicamente.
Passo 1
O enunciado diz que existe uma raiz cúbica
de
localizada no primeiro quadrante. O conteúdo é raízes de unidade em números complexos: para resolver, vamos usar forma polar e análise de argumentos.
Passo 2
Vamos escrever
em forma polar como
com
e
. Como
, temos
As três raízes cúbicas de
são dadas por
onde
.
Passo 3
Para
, o argumento é
, que varia entre
e
. Isso está nos segundo ou terceiro quadrantes, não no primeiro.
Para , o argumento é
, que varia entre
e
. Isso está nos terceiro ou quarto quadrantes, também não no primeiro.
Para
Resposta
Não. As outras raízes têm argumentos
e
, que não pertencem ao intervalo
, logo não podem estar no primeiro quadrante.