Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty 1n+raiz[17]n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty 1n+raiz[17]n é convergente ou divergente. O conteúdo envolve séries numéricas e vamos precisar usar um critério de comparação, mais exatamente o critério de comparação por limite (limit comparison test).

Passo 2

Para aplicar o critério, primeiro identificamos o comportamento assintótico do termo geral an=1n+raiz[17]n quando ntoinfty. Como raiz[17]n=n^1/17 cresce muito mais devagar que n, temos n+ n^1/17sim n. Logo, ansim 1n

Passo 3

Agora aplicamos o critério de comparação por limite com a série harmônica divergente sum1n. Calculamos
limntoinfty an1/n = limntoinfty 1/(n+ n^1/17)1/n = limntoinfty nn+ n^1/17
Dentro desse limite temos
nn+ n^1/17 = 11 + n^1/17 - 1 = 11 + n^-16/17 to 1(ntoinfty)

Passo 4

Como o limite é um número finito e não nulo, pelo critério de comparação por limite a nossa série tem o mesmo comportamento da harmônica, ou seja, diverge.

Resposta

A série diverge.

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