Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

O exercício pede para verificar a convergência da série sumn=0^infty n(1+n^2)^p dependendo de p>0. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, em especial o teste de comparação (limit comparison) com séries do tipo p-série.

Passo 2

Para grandes n, temos 1+n^2approx n^2. Então o termo geral
an = n(1+n^2)^p sim nn^2p = 1n^2p-1

Passo 3

Definimos bn = 1/n^2p-1 e aplicamos o teste de comparação em limite:
limntoinftyanbn =limntoinftyn(1+n^2)^p1n^2p-1 =limntoinftyn,n^2p-1(1+n^2)^p =1

Passo 4

Como o limite é finito e não nulo, sum an e sum bn têm o mesmo comportamento. A p-série sum 1/n^2p-1 converge se e só se o expoente 2p-1>1, isto é, p>1. Caso contrário, diverge.

Resposta

A série converge para p>1 e diverge para 0.

Exercícios relacionados