Para cada hipérbole dada abaixo, determine os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
. Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação de uma hipérbole:
. Nosso objetivo aqui é encontrar os vértices, os focos e a excentricidade dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma padrão das hipérboles e como identificar essas características a partir da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão da hipérbole. A equação dada é
. Vamos mover o 1 para o outro lado:
Agora, a equação está parecida com a forma padrão da hipérbole horizontal:
Passo 3
Comparando a nossa equação com a forma padrão, vemos que
e
. Então, tirando a raiz quadrada, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo x. Como nosso centro é (0,0), os vértices são:
Passo 5
Em seguida, vamos determinar os focos. A distância dos focos ao centro é dada por
, onde
. Substituindo os valores que já encontramos:
Então, os focos estão em:
Passo 6
Por último, vamos calcular a excentricidade
da hipérbole. A excentricidade é dada por:
Substituindo os valores: