Para cada hipérbole dada abaixo, determine os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
x^2-y^2-1=0. Resp: A( pm 1,0), F( pm raiz2, 0), e=raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação de uma hipérbole: x^2 - y^2 - 1 = 0 . Nosso objetivo aqui é encontrar os vértices, os focos e a excentricidade dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma padrão das hipérboles e como identificar essas características a partir da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão da hipérbole. A equação dada é x^2 - y^2 - 1 = 0 . Vamos mover o 1 para o outro lado:
x^2 - y^2 = 1
Agora, a equação está parecida com a forma padrão da hipérbole horizontal:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

Passo 3

Comparando a nossa equação com a forma padrão, vemos que a^2 = 1 e b^2 = 1 . Então, tirando a raiz quadrada, temos:
a = 1 e b = 1

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal, os vértices estão localizados a uma distância a do centro ao longo do eixo x. Como nosso centro é (0,0), os vértices são:
A(pm a, 0) = A(pm 1, 0)

Passo 5

Em seguida, vamos determinar os focos. A distância dos focos ao centro é dada por c , onde c^2 = a^2 + b^2 . Substituindo os valores que já encontramos:
c^2 = 1 + 1 = 2 Rightarrow c = raiz2
Então, os focos estão em:
F(pm c, 0) = F(pm raiz2, 0)

Passo 6

Por último, vamos calcular a excentricidade e da hipérbole. A excentricidade é dada por:
e = ca
Substituindo os valores:
e = raiz21 = raiz2

Resposta

A(pm 1, 0), F(pm raiz2, 0), e = raiz2

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