Julgue os itens a seguir em certo ou errado. Para os itens certos, demonstre o fato; para os itens errados, dê um contra-exemplo.
( ) Sejam A, B in Mn(R). Se A B=0, então A=0 ou B=0.

Passo 1

O enunciado afirma que em Mn(R) vale a propriedade do “produto nulo implica fator nulo”, isto é, se AB=0 então A=0 ou B=0. O conteúdo é sobre divisores de zero na álgebra de matrizes; vamos ver que para n>=2 essa propriedade falha, fornecendo um contra-exemplo.

Passo 2

Escolhemos n=2 e definimos as matrizes
A = 1 & 0 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 0
Claramente Aneq0 e Bneq0.

Passo 3

Calculamos o produto AB:
AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1cdot0 + 0cdot1 & 1cdot0 + 0cdot0 0cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 = 0 & 0 0 & 0 = 0

Resposta

Errado. Um contra-exemplo em M2(R) são as matrizes A e B acima, pois AB=0 mas Aneq0 e Bneq0.

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