Considere as bases alpha e beta de R^3, alpha=(-3,0,-3),(-3,2,-1),(1,-6,-1) e beta=(-6,-6,0),(-2,-6,4),(-2,-3,7).
Calcule a matriz mudança de base [1]beta^alpha.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
alpha=a1,a2,a3 com
a1 = (-3,0,-3), a2 = (-3,2,-1), a3 = (1,-6,-1),
e
beta=b1,b2,b3 com
b1 = (-6,-6,0), b2 = (-2,-6,4), b3 = (-2,-3,7)
Queremos a matriz de mudança de base [1]beta^alpha, que converte coordenadas em alpha nas coordenadas em beta. Cada coluna j de [1]beta^alpha é dada pelas coordenadas de aj na base beta.

Passo 2

Escrevemos a matriz cujas colunas são os vetores de :
Para encontrar as coordenadas de em , resolvemos

Passo 3

Para
Eliminando e . Substituindo em qualquer equação, acha-se . Logo a primeira coluna é

Passo 4

Para
leva às equações
de onde e então . Assim a segunda coluna é

Passo 5

Para
de onde e . A terceira coluna é

Passo 6

Reunindo as colunas beta-coordenadas de a1,a2,a3, obtemos
[1]beta^alpha = tfrac34 & tfrac34 & -tfrac512 -tfrac34 & -tfrac1712& tfrac2512 0 & tfrac23 & -tfrac43

Resposta

[1]beta^alpha = tfrac34 & tfrac34 & -tfrac512 -tfrac34 & -tfrac1712& tfrac2512 0 & tfrac23 & -tfrac43

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