Em cada, identifique a superfície descrita em coordenadas cilíndricas.
3 r^2+z^2=9

Passo 1

O enunciado dá em coordenadas cilíndricas a equação
3,r^2 + z^2 = 9
e pede para identificar de que superfície se trata. O conteúdo aqui é conversão de coordenadas cilíndricas para cartesianas (usando r^2=x^2+y^2) e, em seguida, classificação de superfícies quadráticas.

Passo 2

Substituímos a relação entre cilíndricas e cartesianas:
r^2 = x^2 + y^2
Então a equação vira
3,(x^2+y^2) + z^2 = 9

Passo 3

Para comparar com a forma padrão de um elipsoide, dividimos ambos os lados por 9:
x^2+y^23 + z^29 = 1
Isso coincide com a equação genérica
x^2a^2 + y^2a^2 + z^2c^2 = 1,
em que a^2=3 e c^2=9.

Passo 4

Reconhecemos essa forma como um elipsoide de revolução ao redor do eixo z. Os semieixos são
a = raiz3 (nos eixos (x) e (y)), c = 3 (no eixo (z))

Resposta

A superfície é um elipsoide de revolução (esferoide prolato) com semieixo raiz3 nos eixos x e y e semieixo 3 no eixo z.

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