Resolva a equação diferencial dada.
11. d^2 yd t^4+d^3 yd t^3+d^2 yd t^2+d yd t+y=1

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y^(4)(t)+y^(3)(t)+y''(t)+y'(t)+y(t)=1,
que é uma EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes e termo não-homogêneo constante. Vamos encontrar a solução geral como
y(t)=yh(t)+yp(t),
onde yh é a solução da homogênea e yp uma solução particular.

Passo 2

Para achar yh, montamos a equação característica associada, assumindo y=e^rt:
r^4 + r^3 + r^2 + r + 1 = 0

Passo 3

Observe que
r^4 + r^3 + r^2 + r + 1 = r^5-1r-1,
portanto as raízes são as raízes quíntuplas da unidade, exceto r=1. Logo
rk = e^2pi i k/5, k=1,2,3,4

Passo 4

A solução geral da parte homogênea é
yh(t) = sumk=1^4Ck,e^rk t
com rk dados acima e C1,dots,C4 constantes arbitrárias.

Passo 5

Para a solução particular, tentamos yp=A (constante). Então
yp'=yp''=yp^(3)=yp^(4)=0
e a EDO fica
0+0+0+0+A = 1Longrightarrow A=1
Como r=0 não anula a característica, esse palpite vale.

Passo 6

Somando as partes, a solução geral é
y(t)=sumk=1^4Ck,e^e^2pi i k/5,t+1,
onde C1,dots,C4 são constantes que se determinam pelas condições iniciais.

Resposta

y(t)=sumk=1^4Ck,expl(e^2pi i k/5,tr);+;1,
com C1,dots,C4 constantes arbitrárias.

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