Resolva a equação diferencial dada.
12. d yd t+t y^2=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
dydt + t,y^2 = 0
Esse tipo de equação é separável: podemos isolar termos em y e em t para integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
dydt = -,t,y^2
Para yneq 0, separamos as variáveis:
dyy^2 = -,t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 ;=;integral -,t,dt
O lado esquerdo dá -tfrac1y e o direito dá -tfract^22+C, onde C é a constante de integração. Logo,
-1y = -t^22 + C

Passo 4

Multiplicando a igualdade por -1 e redefinindo a constante, obtemos
1y = t^22 + C1,
onde C1=-C é outra constante arbitrária. Assim,
y = 1tfract^22 + C1 Long<=ftrightarrow y = 2t^2 + K,
em que K=2C1 é constante real.

Passo 5

Há também a solução trivial y(t)=0, que satisfaz imediatamente tfracdydt+t,y^2=0.

Resposta

A solução geral é
y(t)=0
e, para yneq 0,
y(t)=1tfract^22+C ou y(t)=2t^2+K,
com C,KinR constantes de integração.

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