Um criador de gado tem um bezerro de determinada raça para vender. Esse bezerro pesa atualmente 200 kg e engorda 2 kg por dia. Inicialmente, o criador acha que, quanto mais tempo esperar para vender o bezerro, melhor será, pois o bezerro ganhará mais peso. Entretanto, um dos funcionários lembra ao criador que o preço de venda, que hoje é
50,00
\mathrm{R} $$ 0,40 por dia. Com base nessas informações fornecidas, mantida a situação atual, faça o que se pede:
a. Determine a melhor data para vender o bezerro, contada a partir de hoje.
b. Calcule o valor, em reis, que será arrecadado em tal venda.
c. Faça o gráfico que represente o valor
a ser arrecadado pelo criador na venda do bezerro (em reais), em função do tempo
de espera (em dias).
d. Determine quantos dias levará para que o total arrecadado pelo criador seja zero.
a. Determine a melhor data para vender o bezerro, contada a partir de hoje.
b. Calcule o valor, em reis, que será arrecadado em tal venda.
c. Faça o gráfico que represente o valor
d. Determine quantos dias levará para que o total arrecadado pelo criador seja zero.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado já está aqui, sem nada inventado):
- Informações dadas:
- Peso atual do bezerro:
. - Taxa de ganho de peso:
. - Preço atual de venda por kg:
por kg. - Taxa de queda do preço:
por dia (ou seja, o preço diminui reais a cada dia).
- Peso atual do bezerro:
- O que o enunciado pede:
(a) Determine o melhor momento (contado a partir de hoje, em dias) para vender o bezerro.
(b) Calcule o valor arrecadado na venda nessa melhor data (em reais).
(c) Faça o gráfico que representa o valorarrecadado em função do tempo de espera (em dias).
(d) Determine quantos dias levarão para que o total arrecadado seja zero.
Passo 2
Vamos traduzir as informações em funções matemáticas (passo importantíssimo: definir variáveis e fórmulas).
- Defina
= número de dias que o criador espera a partir de hoje (unidade: dias). Então . - Peso do bezerro após
dias: comece com e acrescente por dia. Logo a função do peso é
Explanação curta: essa é uma função afim; ao somar uma taxa diária multiplicada por
obtemos o peso futuro.
- Preço por kg após
dias: começa em e diminui por dia. Logo
Observação: se
chegar a zero ou ficar negativa, preço físico não é negativo; aqui trabalhamos a expressão algébrica e depois interpretamos o domínio.
Passo 3
Agora a função que interessa: receita
= (peso) × (preço por kg). Multiplicando
por
obtemos
Vamos desenvolver essa expressão passo a passo (para ficar prontinho para análise algébrica):
Calcule cada termo:
Substituindo e juntando termos semelhantes:
Portanto a receita é uma parábola (função quadrática)
Breve comentário didático: uma função quadrática tem a forma geral
. Aqui
(negativo),
e
. Como
, a parábola é voltada para baixo (tem um máximo global), então realmente existe um tempo ótimo para vender que maximiza a receita.
Passo 4
Encontrar o melhor dia para vender significa encontrar o
que maximiza
. Para uma quadrática
com
, o vértice (ponto de máximo quando
) tem coordenada
Explicando por que: essa fórmula vem de completar o quadrado ou derivada; aqui uso completar o quadrado por ser uma técnica algébrica simples que dá também a expressão do valor máximo. Aplicando aos coeficientes
e
:
Interpretação prática: o criador obtém a maior receita se esperar
dias a partir de hoje (ou seja, 12 dias e 12 horas). Isso responde a parte (a). (Em prova, se quiseres responder em dias inteiros, podes dizer “após 12 dias e meio”, que é a resposta exata.)
Passo 5
Agora calculamos o valor máximo da receita (parte b). Basta substituir
em
. Use a forma desenvolvida:
Calcule passo a passo:
Agora junte:
Portanto a receita máxima é
. Observação prática: o bezerro nesse dia pesará
e o preço por kg será
. Confere:
Passo 6
Parte (c): fazer o gráfico de
em função de
. Como não posso desenhar aqui, vou explicar como traçar o esboço e forneço os pontos-chave para que o gráfico saia certinho.
- Função para plotar:
- Tipo de curva: parábola côncava para baixo (porque
). - Vértice (ponto de máximo):
. - Intercepto com o eixo
(quando ): . Então corte em em . - Zeros (raízes de
): resolvendo dá e . Cálculo rápido:
Interpretação: a raiz negativa
não interessa (estaria 100 dias antes de hoje); a raiz positiva
significa que após 125 dias a receita será zero.
- Simetria: o eixo de simetria é
. Assim e (pontos simétricos). - Pontos sugeridos para desenhar e captar a forma:
-
, . -
, (vértice). -
, . -
, calcula-se . - Zero positivo em
(a parábola cruza o eixo aí).
-
- Domínio relevante para o problema:
até (após dias o preço por kg zera e a receita torna-se zero; para o modelo daria receita negativa, sem sentido prático).
Com esses pontos e sabendo que a parábola é suave e simétrica, podes esboçar o gráfico: eixo horizontal
em dias, eixo vertical
em reais; a curva sobe ligeiramente até
e depois decresce até cruzar o eixo
em
.
Passo 7
Parte (d): determinar quantos dias até a receita ser zero. Já vimos as raízes:
e
. A única solução prática (tempo futuro) é
Comentário: isso também coincide com o instante em que o preço por kg se torna zero, pois
dá
.
Resposta
(a)
(b)
(c) (parábola côncava para baixo; vértice em
; zeros em
e
; domínio prático
).
(d)
(b)
(c)
(d)