Um criador de gado tem um bezerro de determinada raça para vender. Esse bezerro pesa atualmente 200 kg e engorda 2 kg por dia. Inicialmente, o criador acha que, quanto mais tempo esperar para vender o bezerro, melhor será, pois o bezerro ganhará mais peso. Entretanto, um dos funcionários lembra ao criador que o preço de venda, que hoje é \mathrm{R} \ 50,00 por kg, está caindoá\mathrm{R} $$ 0,40 por dia. Com base nessas informações fornecidas, mantida a situação atual, faça o que se pede:
a. Determine a melhor data para vender o bezerro, contada a partir de hoje.
b. Calcule o valor, em reis, que será arrecadado em tal venda.
c. Faça o gráfico que represente o valor y a ser arrecadado pelo criador na venda do bezerro (em reais), em função do tempo x de espera (em dias).
d. Determine quantos dias levará para que o total arrecadado pelo criador seja zero.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado já está aqui, sem nada inventado):
  • Informações dadas:
    • Peso atual do bezerro: \,200\\ \text{kg}.
    • Taxa de ganho de peso: \,2\\ \text{kg/dia}.
    • Preço atual de venda por kg: \text{R\$ }50{,}00 por kg.
    • Taxa de queda do preço: \text{R\$ }0{,}40 por dia (ou seja, o preço diminui \,0{,}40 reais a cada dia).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determine o melhor momento (contado a partir de hoje, em dias) para vender o bezerro.
    (b) Calcule o valor arrecadado na venda nessa melhor data (em reais).
    (c) Faça o gráfico que representa o valor y arrecadado em função do tempo x de espera (em dias).
    (d) Determine quantos dias levarão para que o total arrecadado seja zero.

Passo 2

Vamos traduzir as informações em funções matemáticas (passo importantíssimo: definir variáveis e fórmulas).
  • Defina x = número de dias que o criador espera a partir de hoje (unidade: dias). Então x\ge 0.
  • Peso do bezerro após x dias: comece com \,200\\ \text{kg} e acrescente \,2\\ \text{kg} por dia. Logo a função do peso é
w(x)=200+2x\quad(\text{kg}).
Explanação curta: essa é uma função afim; ao somar uma taxa diária multiplicada por x obtemos o peso futuro.
  • Preço por kg após x dias: começa em \text{R\$}50{,}00 e diminui \text{R\$ }0{,}40 por dia. Logo
p(x)=50{,}00-0{,}40x\quad(\text{R\$ / kg}).
Observação: se p(x) chegar a zero ou ficar negativa, preço físico não é negativo; aqui trabalhamos a expressão algébrica e depois interpretamos o domínio.

Passo 3

Agora a função que interessa: receita y(x) = (peso) × (preço por kg). Multiplicando w(x) por p(x) obtemos
y(x)=w(x)\,p(x)=(200+2x)(50{,}00-0{,}40x).
Vamos desenvolver essa expressão passo a passo (para ficar prontinho para análise algébrica):
y(x)=200\cdot50{,}00 + 2x\cdot50{,}00 -200\cdot0{,}40x - 2x\cdot0{,}40x.
Calcule cada termo:
200\cdot50{,}00 = 10000{,}00, \qquad 2x\cdot50{,}00 = 100x, \qquad 200\cdot0{,}40x = 80x, \qquad 2x\cdot0{,}40x = 0{,}80x^{2}.
Substituindo e juntando termos semelhantes:
y(x)=10000{,}00 +100x -80x -0{,}80x^{2} =10000{,}00 +20x -0{,}80x^{2}.
Portanto a receita é uma parábola (função quadrática)
\boxed{\,y(x)=-0{,}80x^{2}+20x+10000{,}00\,.}
Breve comentário didático: uma função quadrática tem a forma geral ax^{2}+bx+c. Aqui a=-0{,}80 (negativo), b=20 e c=10000{,}00. Como a<0, a parábola é voltada para baixo (tem um máximo global), então realmente existe um tempo ótimo para vender que maximiza a receita.

Passo 4

Encontrar o melhor dia para vender significa encontrar o x que maximiza y(x). Para uma quadrática y(x)=ax^{2}+bx+c com a\neq 0, o vértice (ponto de máximo quando a<0) tem coordenada
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a}.
Explicando por que: essa fórmula vem de completar o quadrado ou derivada; aqui uso completar o quadrado por ser uma técnica algébrica simples que dá também a expressão do valor máximo. Aplicando aos coeficientes a=-0{,}80 e b=20:
x_{\text{v}}=-\frac{20}{2\cdot(-0{,}80)} =-\frac{20}{-1{,}6} =\frac{20}{1{,}6}=12{,}5.
Interpretação prática: o criador obtém a maior receita se esperar 12{,}5 dias a partir de hoje (ou seja, 12 dias e 12 horas). Isso responde a parte (a). (Em prova, se quiseres responder em dias inteiros, podes dizer “após 12 dias e meio”, que é a resposta exata.)

Passo 5

Agora calculamos o valor máximo da receita (parte b). Basta substituir x=12{,}5 em y(x). Use a forma desenvolvida:
y(12{,}5)=10000{,}00 +20\cdot12{,}5 -0{,}80\cdot(12{,}5)^{2}.
Calcule passo a passo:
20\cdot12{,}5 = 250{,}00.
(12{,}5)^{2}=156{,}25.
0{,}80\cdot156{,}25 = 125{,}00.
Agora junte:
y(12{,}5)=10000{,}00 +250{,}00 -125{,}00 =10125{,}00.
Portanto a receita máxima é \text{R\$}10125{,}00. Observação prática: o bezerro nesse dia pesará w(12{,}5)=200+2\cdot12{,}5=200+25=225\\ \text{kg} e o preço por kg será p(12{,}5)=50{,}00-0{,}40\cdot12{,}5=50{,}00-5{,}00=45{,}00\\ \text{R\$/kg}. Confere: 225\\ \text{kg}\times\text{R\$}45{,}00/\text{kg}=\text{R\$ }10125{,}00.

Passo 6

Parte (c): fazer o gráfico de y em função de x. Como não posso desenhar aqui, vou explicar como traçar o esboço e forneço os pontos-chave para que o gráfico saia certinho.
  • Função para plotar: \,y(x)=-0{,}80x^{2}+20x+10000{,}00.
  • Tipo de curva: parábola côncava para baixo (porque a=-0{,}80<0).
  • Vértice (ponto de máximo): \bigl(12{,}5,\,10125{,}00\bigr).
  • Intercepto com o eixo y (quando x=0): y(0)=10000{,}00. Então corte em y em \text{R\$ }10000{,}00.
  • Zeros (raízes de y(x)=0): resolvendo dá x=-100 e x=125. Cálculo rápido: -0{,}80x^{2}+20x+10000{,}00=0 \Longrightarrow 0{,}8x^{2}-20x-10000{,}00=0,
x=\frac{20\pm\sqrt{20^{2}+4\cdot0{,}8\cdot10000}}{2\cdot0{,}8} =\frac{20\pm180}{1{,}6} \Rightarrow x=-100 \text{ ou } x=125.
Interpretação: a raiz negativa x=-100 não interessa (estaria 100 dias antes de hoje); a raiz positiva x=125 significa que após 125 dias a receita será zero.
  • Simetria: o eixo de simetria é x=12{,}5. Assim y(0)=10000{,}00 e y(25)=10000{,}00 (pontos simétricos).
  • Pontos sugeridos para desenhar e captar a forma:
    • x=0, y=10000{,}00.
    • x=12{,}5, y=10125{,}00 (vértice).
    • x=25, y=10000{,}00.
    • x=50, calcula-se y(50)=10000+20\cdot50-0{,}8\cdot2500=10000+1000-2000=9000{,}00.
    • Zero positivo em x=125 (a parábola cruza o eixo x aí).
  • Domínio relevante para o problema: x\ge 0 até x=125 (após 125 dias o preço por kg zera e a receita torna-se zero; para x>125 o modelo daria receita negativa, sem sentido prático).
Com esses pontos e sabendo que a parábola é suave e simétrica, podes esboçar o gráfico: eixo horizontal x em dias, eixo vertical y em reais; a curva sobe ligeiramente até x=12{,}5 e depois decresce até cruzar o eixo x em 125.

Passo 7

Parte (d): determinar quantos dias até a receita ser zero. Já vimos as raízes: x=-100 e x=125. A única solução prática (tempo futuro) é
x=125\\ \text{dias}.
Comentário: isso também coincide com o instante em que o preço por kg se torna zero, pois p(x)=50{,}00-0{,}40x=0 x=125.

Resposta

(a) 12{,}5\\ \text{dias}
(b) \text{R\$ }10125{,}00
(c) y(x)=-0{,}80x^{2}+20x+10000{,}00 (parábola côncava para baixo; vértice em (12{,}5,10125{,}00); zeros em x=-100 e x=125; domínio prático 0\le x\le125).
(d) 125\\ \text{dias}

Exercícios relacionados