Esboce os gráficos da região
limitado pelos gráficos das equações dadas e exprima a integral
como integral iterada de seis formas diferentes
Passo 1
O enunciado pede a região
.
Esse é um “prisma” em (de
a
) cuja base no plano
é a região sob a parábola
e acima de
.
Esse é um “prisma” em
Passo 2
Para entender os limites em
e
, note que
e
implica
e para cada
nessa faixa,
Em
temos sempre
Passo 3
Quando a variável interior for
, seus limites são
a
. Se
for integrada antes de
e depois de
, ou antes de
e depois de
, obtemos duas formas:
Passo 4
Quando a variável interior for
, observe que para cada
temos
Assim, integrando
antes de
e depois de
, ou antes de
e depois de
, temos:
Passo 5
Quando a variável interior for
, os limites são sempre constantes de
a
. Os limites para
e
voltam aos casos do passo 2. Assim, integrando
antes de
e
, ou antes de
e
, obtemos:
Resposta
As seis possíveis escritas são: