Esboce os gráficos da região mathcal{Q} limitado pelos gráficos das equações dadas e exprima a integral \iiint_{\mathcal{Q}} f(x, y, z) d v como integral iterada de seis formas diferentes
z=9-x^{2}, z=0, y=-1, y=2

Passo 1

O enunciado pede a região \mathcal{Q}=\{(x,y,z)\mid z=0,\;z=9-x^2,\;y=-1,\;y=2\}.
Esse é um “prisma” em y (de y=-1 a y=2) cuja base no plano xz é a região sob a parábola z=9-x^2 e acima de z=0.

Passo 2

Para entender os limites em x e z, note que z\ge0 e z\le9-x^2 implica
9-x^2\ge0\quad\Longrightarrow\quad -3\le x\le3,
e para cada x nessa faixa,
0\le z\le9-x^2.
Em y temos sempre
-1\le y\le2.

Passo 3

Quando a variável interior for z, seus limites são 0 a 9-x^2. Se z for integrada antes de y e depois de x, ou antes de x e depois de y, obtemos duas formas:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dV =\int_{x=-3}^{3}\int_{y=-1}^{2}\int_{z=0}^{9-x^2}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dV =\int_{y=-1}^{2}\int_{x=-3}^{3}\int_{z=0}^{9-x^2}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy

Passo 4

Quando a variável interior for x, observe que para cada z\in[0,9] temos
-\sqrt{9-z}\,\le x\le\sqrt{9-z}.
Assim, integrando x antes de z e depois de y, ou antes de y e depois de z, temos:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dV =\int_{y=-1}^{2}\int_{z=0}^{9}\int_{x=-\sqrt{9-z}}^{\sqrt{9-z}}f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dV =\int_{z=0}^{9}\int_{y=-1}^{2}\int_{x=-\sqrt{9-z}}^{\sqrt{9-z}}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

Passo 5

Quando a variável interior for y, os limites são sempre constantes de -1 a 2. Os limites para z e x voltam aos casos do passo 2. Assim, integrando y antes de z e x, ou antes de x e z, obtemos:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dV =\int_{x=-3}^{3}\int_{z=0}^{9-x^2}\int_{y=-1}^{2}f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dV =\int_{z=0}^{9}\int_{x=-\sqrt{9-z}}^{\sqrt{9-z}}\int_{y=-1}^{2}f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz

Resposta

As seis possíveis escritas são:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dV =\int_{x=-3}^{3}\int_{y=-1}^{2}\int_{z=0}^{9-x^2}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx
=\int_{y=-1}^{2}\int_{x=-3}^{3}\int_{z=0}^{9-x^2}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy
=\int_{y=-1}^{2}\int_{z=0}^{9}\int_{x=-\sqrt{9-z}}^{\sqrt{9-z}}f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy
=\int_{z=0}^{9}\int_{y=-1}^{2}\int_{x=-\sqrt{9-z}}^{\sqrt{9-z}}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
=\int_{x=-3}^{3}\int_{z=0}^{9-x^2}\int_{y=-1}^{2}f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx
=\int_{z=0}^{9}\int_{x=-\sqrt{9-z}}^{\sqrt{9-z}}\int_{y=-1}^{2}f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.

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