Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os
.
Passo 1
O enunciado dá o integral iterado
Perguntas pedidas:
- Identificar claramente o domínio de integração (o conjunto de pontos
cujo volume estamos calculando). - Escrever, quando possível, o mesmo integral em uma ordem de integração diferente.
- Calcular o valor do integral (o volume).
Informações fornecidas pelo enunciado (lista das condições que valem em todo o domínio):
- Para
: . - Para
: (ou seja, está entre as superfícies e ). - Para
: (ou seja, fica entre o plano e o plano inclinado ).
Passo 2
Descrevendo o domínio
em palavras e em conjunto:
Isso significa: para cada
entre
e
tomamos
entre as duas parábolas em
-plano e, para cada
assim escolhido,
vai de
até
. O integrando é
, portanto estamos calculando o volume do sólido
.
Breve aula sobre integrais iterados e Fubini (conceito útil aqui):
- Um integral triplo iterado como esse calcula o volume do conjunto onde as desigualdades das variáveis são satisfeitas.
- Podemos integrar em qualquer ordem (desde que as funções sejam integráveis) mas os limites mudam: é preciso projetar o domínio nas coordenadas apropriadas e descrever as fronteiras como funções da(s) variável(is) integradas mais externas.
- Estratégia prática: eliminar a variável cuja integral é mais simples primeiro — aqui integrar em
é óbvio porque os limites são constantes em (dependem só de ).
Passo 3
Calcular o integral na ordem dada (primeiro
, depois
, depois
) — integrar em
é imediato.
Integral inicial:
Integrando em
:
- A integral
integra a função em , então o resultado é simplesmente o comprimento do intervalo em : .
Logo o integral reduz a
Passo 4
Agora integramos em
. Vou mostrar passo a passo como integrar
.
Primitiva de
em
é
. Então avaliando entre
e
obtemos, para cada
,
Agora desenvolvemos cuidadosamente cada termo (explico passo a passo para você poder fazer na prova sem calculadora):
- Primeiro bloco:
Subtraindo:
- Segundo bloco:
Subtraindo:
- Agora
é a diferença: Agrupando termos semelhantes:
Portanto o integral reduz agora a um integral em
só:
Passo 5
Integrando em
. Observação útil (que facilita contas): a função
é par (isto é, depende só de
), então
Isso evita trabalhar com limites simétricos duas vezes.
Calcule a primitiva termo a termo:
-
. -
. -
.
Avalia de
a
:
Vamos somar as frações com denominador comum
:
Assim o valor entre
e
é
Multiplicando por
(pois o integral de
a
é o dobro do de
a
):
Assim, usando a ordem dada
chegamos ao valor
.
Passo 6
Agora vou escrever o mesmo integral em uma ordem de integração diferente (por exemplo integrar em
primeiro); para isso preciso descrever os limites de
em função de
. Isso é útil e, em provas, é comum pedir mudança de ordem.
Projete o domínio no plano
: as curvas que limitam
são
(curva inferior) e
(curva superior). Elas se intersectam quando
, e aí
. Observação sobre o intervalo total de
: ao variar
em
, o menor
que aparece é
(em
na curva inferior) e o maior é
(em
na curva superior). Logo
varia globalmente em
.
Para um
fixo, os valores de
que pertencem à projeção satisfazem simultaneamente
Isto é equivalente a
ou seja
. Note que
quando
, e para
a desigualdade se inverte. Portanto é natural dividir o intervalo de
em duas partes:
- Para
: varia entre e . - Para
: varia entre e .
O limite em
só depende de
:
.
Portanto podemos escrever o mesmo integral (com
integrado primeiro) como a soma de dois integrais:
Passo 7
Vou calcular o integral nessa ordem alternativa para confirmar (e para te mostrar uma técnica de mudança de ordem útil na prova). Como a função integranda é
, a integral interna em
é simples:
.
Para a primeira parte (
):
Assim a contribuição é
.
Para a segunda parte (
):
Assim a contribuição é
.
Vamos integrar cada um (vou mostrar os passos essenciais):
Primeira integral:
Separando:
As primitivas são
e
. Avaliando em
a
(usando
e
) obtemos, após simplificar,
.
Segunda integral:
Faça a substituição
para simplificar: o intervalo
vira
e o integral reduz a
Calculando as primitivas em
a
dá
.
Somando as duas partes:
o mesmo resultado obtido na ordem original — ótimo, consistência verificada.