Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os
\int_{-1}^{1} \int_{3 x^{2}}^{4-x^{2}} \int_{0}^{6-z} d y d z d x.

Passo 1

O enunciado dá o integral iterado
\int_{-1}^{1}\int_{3x^{2}}^{4-x^{2}}\int_{0}^{6-z} dy\,dz\,dx.
Perguntas pedidas:
  1. Identificar claramente o domínio de integração (o conjunto de pontos (x,y,z) cujo volume estamos calculando).
  2. Escrever, quando possível, o mesmo integral em uma ordem de integração diferente.
  3. Calcular o valor do integral (o volume).
Informações fornecidas pelo enunciado (lista das condições que valem em todo o domínio):
  • Para x: -1\le x\le 1.
  • Para z: 3x^{2}\le z\le 4-x^{2} (ou seja, z está entre as superfícies z=3x^{2} e z=4-x^{2}).
  • Para y: 0\le y\le 6-z (ou seja, y fica entre o plano y=0 e o plano inclinado y=6-z).

Passo 2

Descrevendo o domínio D em palavras e em conjunto:
D=\{(x,y,z)\mid -1\le x\le 1,\; 3x^{2}\le z\le 4-x^{2},\; 0\le y\le 6-z\}.
Isso significa: para cada x entre -1 e 1 tomamos z entre as duas parábolas em xz-plano e, para cada (x,z) assim escolhido, y vai de 0 até 6-z. O integrando é 1, portanto estamos calculando o volume do sólido D.
Breve aula sobre integrais iterados e Fubini (conceito útil aqui):
  • Um integral triplo iterado como esse calcula o volume do conjunto onde as desigualdades das variáveis são satisfeitas.
  • Podemos integrar em qualquer ordem (desde que as funções sejam integráveis) mas os limites mudam: é preciso projetar o domínio nas coordenadas apropriadas e descrever as fronteiras como funções da(s) variável(is) integradas mais externas.
  • Estratégia prática: eliminar a variável cuja integral é mais simples primeiro — aqui integrar em y é óbvio porque os limites são constantes em y (dependem só de z).

Passo 3

Calcular o integral na ordem dada (primeiro y, depois z, depois x) — integrar em y é imediato.
Integral inicial:
\int_{-1}^{1}\int_{3x^{2}}^{4-x^{2}}\int_{0}^{6-z} dy\,dz\,dx.
Integrando em y:
  • A integral \int_{0}^{6-z} dy integra a função 1 em y, então o resultado é simplesmente o comprimento do intervalo em y: 6-z.
    Logo o integral reduz a
\int_{-1}^{1}\int_{3x^{2}}^{4-x^{2}} (6-z)\,dz\,dx.

Passo 4

Agora integramos em z. Vou mostrar passo a passo como integrar \int (6-z)\,dz.
Primitiva de 6-z em z é 6z - \tfrac{1}{2}z^{2}. Então avaliando entre z=3x^{2} e z=4-x^{2} obtemos, para cada x,
\begin{aligned} F(x) &= \big[6z - \tfrac{1}{2}z^{2}\big]_{z=3x^{2}}^{z=4-x^{2}} \\\ &= \big(6(4-x^{2}) - \tfrac{1}{2}(4-x^{2})^{2}\big) - \big(6\cdot 3x^{2} - \tfrac{1}{2}(3x^{2})^{2}\big). \end{aligned}
Agora desenvolvemos cuidadosamente cada termo (explico passo a passo para você poder fazer na prova sem calculadora):
  • Primeiro bloco: 6(4-x^{2}) = 24 - 6x^{2}.
(4-x^{2})^{2} = 16 - 8x^{2} + x^{4},\quad \text{logo}\quad \tfrac{1}{2}(4-x^{2})^{2} = 8 - 4x^{2} + \tfrac{1}{2}x^{4}.
Subtraindo:
6(4-x^{2}) - \tfrac{1}{2}(4-x^{2})^{2} = (24 - 6x^{2}) - (8 - 4x^{2} + \tfrac{1}{2}x^{4}) = 16 - 2x^{2} - \tfrac{1}{2}x^{4}.
  • Segundo bloco: 6\cdot 3x^{2} = 18x^{2}.
(3x^{2})^{2} = 9x^{4},\quad \text{logo}\quad \tfrac{1}{2}(3x^{2})^{2} = \tfrac{9}{2}x^{4}.
Subtraindo:
6\cdot 3x^{2} - \tfrac{1}{2}(3x^{2})^{2} = 18x^{2} - \tfrac{9}{2}x^{4}.
  • Agora F(x) é a diferença: F(x) = \big(16 - 2x^{2} - \tfrac{1}{2}x^{4}\big) - \big(18x^{2} - \tfrac{9}{2}x^{4}\big).Agrupando termos semelhantes: F(x) = 16 - (2x^{2}+18x^{2}) + \Big(-\tfrac{1}{2}x^{4} + \tfrac{9}{2}x^{4}\Big) = 16 - 20x^{2} + 4x^{4}.
Portanto o integral reduz agora a um integral em x só:
\int_{-1}^{1} \big(16 - 20x^{2} + 4x^{4}\big)\,dx.

Passo 5

Integrando em x. Observação útil (que facilita contas): a função 16 - 20x^{2} + 4x^{4} é par (isto é, depende só de x^{2}), então
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Isso evita trabalhar com limites simétricos duas vezes.
Calcule a primitiva termo a termo:
  • \int 16\,dx = 16x.
  • \int -20x^{2}\,dx = -\tfrac{20}{3}x^{3}.
  • \int 4x^{4}\,dx = \tfrac{4}{5}x^{5}.
Avalia de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \big(16 - 20x^{2} + 4x^{4}\big)\,dx = \big[16x - \tfrac{20}{3}x^{3} + \tfrac{4}{5}x^{5}\big]_{0}^{1} = 16 - \tfrac{20}{3} + \tfrac{4}{5}.
Vamos somar as frações com denominador comum 15:
16 = \tfrac{240}{15},\quad \tfrac{20}{3}=\tfrac{100}{15},\quad \tfrac{4}{5}=\tfrac{12}{15}.
Assim o valor entre 0 e 1 é
\tfrac{240}{15} - \tfrac{100}{15} + \tfrac{12}{15} = \tfrac{152}{15}.
Multiplicando por 2 (pois o integral de -1 a 1 é o dobro do de 0 a 1):
\int_{-1}^{1}\big(16 - 20x^{2} + 4x^{4}\big)\,dx = 2\cdot \tfrac{152}{15} = \tfrac{304}{15}.
Assim, usando a ordem dada dy\,dz\,dx chegamos ao valor \tfrac{304}{15}.

Passo 6

Agora vou escrever o mesmo integral em uma ordem de integração diferente (por exemplo integrar em x primeiro); para isso preciso descrever os limites de x em função de z. Isso é útil e, em provas, é comum pedir mudança de ordem.
Projete o domínio no plano xz: as curvas que limitam z são z=3x^{2} (curva inferior) e z=4-x^{2} (curva superior). Elas se intersectam quando 3x^{2}=4-x^{2}\Rightarrow 4x^{2}=4\Rightarrow x=\pm 1, e aí z=3. Observação sobre o intervalo total de z: ao variar x em [-1,1], o menor z que aparece é 0 (em x=0 na curva inferior) e o maior é 4 (em x=0 na curva superior). Logo z varia globalmente em [0,4].
Para um z fixo, os valores de x que pertencem à projeção satisfazem simultaneamente
3x^{2}\le z \quad\text{e}\quad z\le 4-x^{2}.
Isto é equivalente a
x^{2}\le \frac{z}{3}\quad\text{e}\quad x^{2}\le 4-z,
ou seja x^{2}\le\min\{\tfrac{z}{3},\,4-z\}. Note que \tfrac{z}{3}\le 4-z quando z\le 3, e para z\ge 3 a desigualdade se inverte. Portanto é natural dividir o intervalo de z em duas partes:
  • Para 0\le z\le 3: x varia entre -\sqrt{z/3} e +\sqrt{z/3}.
  • Para 3\le z\le 4: x varia entre -\sqrt{4-z} e +\sqrt{4-z}.
O limite em y só depende de z: 0\le y\le 6-z.
Portanto podemos escrever o mesmo integral (com x integrado primeiro) como a soma de dois integrais:
\int_{z=0}^{3}\int_{y=0}^{6-z}\int_{x=-\sqrt{z/3}}^{\sqrt{z/3}} dx\,dy\,dz \;+\; \int_{z=3}^{4}\int_{y=0}^{6-z}\int_{x=-\sqrt{4-z}}^{\sqrt{4-z}} dx\,dy\,dz.

Passo 7

Vou calcular o integral nessa ordem alternativa para confirmar (e para te mostrar uma técnica de mudança de ordem útil na prova). Como a função integranda é 1, a integral interna em x é simples: \int_{-a}^{a} dx = 2a.
Para a primeira parte ( 0\le z\le 3):
\int_{y=0}^{6-z}\int_{x=-\sqrt{z/3}}^{\sqrt{z/3}} dx\,dy = \int_{y=0}^{6-z} 2\sqrt{\tfrac{z}{3}}\, dy = 2\sqrt{\tfrac{z}{3}}\,(6-z).
Assim a contribuição é \displaystyle \int_{0}^{3} 2\sqrt{\tfrac{z}{3}}\,(6-z)\,dz.
Para a segunda parte ( 3\le z\le 4):
\int_{y=0}^{6-z}\int_{x=-\sqrt{4-z}}^{\sqrt{4-z}} dx\,dy = \int_{y=0}^{6-z} 2\sqrt{4-z}\, dy = 2\sqrt{4-z}\,(6-z).
Assim a contribuição é \displaystyle \int_{3}^{4} 2\sqrt{4-z}\,(6-z)\,dz.
Vamos integrar cada um (vou mostrar os passos essenciais):
Primeira integral:
I_{1}=2\int_{0}^{3}\sqrt{\tfrac{z}{3}}\,(6-z)\,dz =\frac{2}{\sqrt{3}}\int_{0}^{3} z^{1/2}(6-z)\,dz.
Separando:
\frac{2}{\sqrt{3}}\Big(6\int_{0}^{3} z^{1/2}dz - \int_{0}^{3} z^{3/2}dz\Big).
As primitivas são \int z^{1/2}dz = \tfrac{2}{3}z^{3/2} e \int z^{3/2}dz = \tfrac{2}{5}z^{5/2}. Avaliando em 0 a 3 (usando 3^{3/2}=3\sqrt{3} e 3^{5/2}=9\sqrt{3}) obtemos, após simplificar, I_{1}=\tfrac{84}{5}.
Segunda integral:
I_{2}=2\int_{3}^{4}\sqrt{4-z}\,(6-z)\,dz.
Faça a substituição u=4-z para simplificar: o intervalo z\in[3,4] vira u\in[1,0] e o integral reduz a
2\int_{0}^{1} u^{1/2}(2+u)\,du =2\Big(2\int_{0}^{1}u^{1/2}du + \int_{0}^{1}u^{3/2}du\Big).
Calculando as primitivas em 0 a 1 I_{2}=\tfrac{52}{15}.
Somando as duas partes:
I_{1}+I_{2}=\tfrac{84}{5}+\tfrac{52}{15}=\tfrac{252}{15}+\tfrac{52}{15}=\tfrac{304}{15},
o mesmo resultado obtido na ordem original — ótimo, consistência verificada.

Resposta

\displaystyle \frac{304}{15}

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