Cada integral abaixo descreve o volume de um sólido de revolução. Descreva o sólido.
pi integral0^pi / 2 sen^2(x) d x

Passo 1

O enunciado dá o volume
V = pi integral0^pi/2 sin^2(x),dx
e pede para descrever qual é o sólido de revolução por trás dessa integral. A teoria básica é que, se uma curva y=f(x) é girada em torno do eixo x no intervalo [a,b], o volume gerado é
V = pi integrala^b l[f(x)r]^2 ,dx,

Passo 2

Aqui identificamos f(x)=sin(x) e o intervalo xin[0,pi/2]. A região plana usada é a área limitada por
  • a curva y=sin(x),
  • a reta y=0 (eixo x),
  • as retas verticais x=0 e x=pi/2.

Passo 3

Ao girar essa região em torno do eixo x, cada segmento vertical de altura sin(x) gera um círculo de raio r(x)=sin(x). Portanto o sólido resultante é aquele cujo raio varia suavemente de r(0)=0 até r(pi/2)=1. Geometricamente, é um “bowl” ou casquete de perfil senoidal, começando pontiagudo em x=0 e alargando até um raio unitário em x=pi/2.

Resposta

O sólido é o gerado pela rotação da região limitada por y=sin(x), y=0, x=0 e x=pi/2 em torno do eixo x.

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