Esboce a região de integração e calcule a integral.
( o plano st)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a região onde vamos integrar e calcular uma integral dupla no plano
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de integração definem a área e como calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Olhando para os limites:
Isso significa que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de 0 até
. Se plotarmos isso no plano
, vemos que a curva
é a parte superior de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Então, a região de integração é o setor do círculo no primeiro quadrante onde
e
são positivos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a
:
A integral de
em relação a
é:
Avaliaremos de 0 a
:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a
:
Podemos separar a integral:
Calculando cada parte:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral é
.