Esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integral0^raiz1-s^2 8 t d t d s ( o plano st)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a região onde vamos integrar e calcular uma integral dupla no plano st . A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de integração definem a área e como calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Olhando para os limites:
0 <= s <= 1
0 <= t <= raiz1 - s^2
Isso significa que s varia de 0 a 1, e para cada valor de s , t varia de 0 até raiz1 - s^2 . Se plotarmos isso no plano st , vemos que a curva t = raiz1 - s^2 é a parte superior de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Então, a região de integração é o setor do círculo no primeiro quadrante onde s e t são positivos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a t :
integral0^raiz1-s^2 8t , dt
A integral de 8t em relação a t é:
8 cdot t^22 = 4t^2
Avaliaremos de 0 a raiz1 - s^2 :
4 (raiz1 - s^2)^2 - 4(0)^2 = 4(1 - s^2)
Então, a integral interna resulta em 4(1 - s^2) .

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a s :
integral0^1 4(1 - s^2) , ds
Podemos separar a integral:
4 integral0^1 1 , ds - 4 integral0^1 s^2 , ds
Calculando cada parte:
4 cdot [s]0^1 = 4(1 - 0) = 4
4 cdot [ s^33 ]0^1 = 4( 13 - 0 ) = 43
Subtraindo:
4 - 43 = 123 - 43 = 83

Resposta

O valor da integral é 83 .

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