Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo dado. Esboce a região e o sólido.
; em torno do eixo y ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume por rotação! O que você precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de integração que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
é uma parábola que abre para a direita. -
é o eixo . -
é uma linha horizontal.
Vamos esboçar mentalmente essas curvas. A parábola
interseca o eixo
quando
, ou seja, no ponto
. A linha
corta a parábola quando
, então
. Assim, a região que vamos girar está entre
e
, da parábola até o eixo
.
Passo 3
Agora, para calcular o volume, usamos o método dos discos. Quando giramos essa região em torno do eixo
, cada “fatia” da região se torna um anel (ou disco). A fórmula para o volume
usando esse método é:
Onde:
-
é o raio do disco em função de . -
e são os limites de integração, que no nosso caso são e .
Passo 4
Precisamos determinar
, o raio do disco para cada
. Como estamos girando em torno do eixo
, o raio é a distância do eixo
até a curva
.
Resolvendo
para
, temos:
Então, o raio
é simplesmente
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Simplificando a integral:
Passo 6
Vamos calcular a integral
.
A antiderivada de
é
, então:
Passo 7
Substituímos de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.