Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo dado. Esboce a região e o sólido.
; em torno do eixo y ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume por rotação! O que você precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de integração que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • é uma parábola que abre para a direita.
  • é o eixo .
  • é uma linha horizontal.
Vamos esboçar mentalmente essas curvas. A parábola interseca o eixo quando , ou seja, no ponto . A linha corta a parábola quando , então . Assim, a região que vamos girar está entre e , da parábola até o eixo .

Passo 3

Agora, para calcular o volume, usamos o método dos discos. Quando giramos essa região em torno do eixo , cada “fatia” da região se torna um anel (ou disco). A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é o raio do disco em função de .
  • e são os limites de integração, que no nosso caso são e .

Passo 4

Precisamos determinar , o raio do disco para cada . Como estamos girando em torno do eixo , o raio é a distância do eixo até a curva .
Resolvendo para , temos:
Então, o raio é simplesmente .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Simplificando a integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral .
A antiderivada de é , então:

Passo 7

Substituímos de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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