Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo dado. Esboce a região e o sólido.
2 x=y^2, x=0, y=4; em torno do eixo y ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume por rotação! O que você precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas 2x = y^2, x = 0 e y = 4 é girada em torno do eixo y. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de integração que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • 2x = y^2 é uma parábola que abre para a direita.
  • x = 0 é o eixo y.
  • y = 4 é uma linha horizontal.
Vamos esboçar mentalmente essas curvas. A parábola 2x = y^2 interseca o eixo y quando x = 0, ou seja, no ponto (0,0). A linha y = 4 corta a parábola quando 2x = 4^2 = 16, então x = 8. Assim, a região que vamos girar está entre y = 0 e y = 4, da parábola até o eixo y.

Passo 3

Agora, para calcular o volume, usamos o método dos discos. Quando giramos essa região em torno do eixo y, cada “fatia” da região se torna um anel (ou disco). A fórmula para o volume V usando esse método é:
V = pi integrala^b [R(y)]^2 , dy
Onde:
  • R(y) é o raio do disco em função de y.
  • a e b são os limites de integração, que no nosso caso são y = 0 e y = 4.

Passo 4

Precisamos determinar R(y), o raio do disco para cada y. Como estamos girando em torno do eixo y, o raio é a distância do eixo y até a curva 2x = y^2.
Resolvendo 2x = y^2 para x, temos:
x = y^22
Então, o raio R(y) é simplesmente y^22.

Passo 5

Agora, substituímos R(y) na fórmula do volume:
V = pi integral0^4 ( y^22 )^2 , dy = pi integral0^4 y^44 , dy
Simplificando a integral:
V = pi4 integral0^4 y^4 , dy

Passo 6

Vamos calcular a integral integral0^4 y^4 , dy.
A antiderivada de y^4 é y^55, então:
integral0^4 y^4 , dy = [ y^55 ]0^4 = 4^55 - 0^55 = 10245 - 0 = 10245

Passo 7

Substituímos de volta na expressão do volume:
V = pi4 times 10245 = 1024 pi20 = 256 pi5

Resposta

O volume do sólido é 2565 pi unidades cúbicas.

Exercícios relacionados