Use o método das camadas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.
y=raizx, y=0, x=4

Passo 1

O enunciado pede o volume obtido ao girar em torno do eixo y a região do primeiro quadrante limitada por
y = raizx, y=0, x=4
O método das camadas cilíndricas será usado, pois temos uma rotação em torno de um eixo vertical e é natural trabalhar com fatias verticais em x.

Passo 2

Escolhendo uma fatia vertical em x, de espessura dx:
– A distância dessa fatia ao eixo y (raio da casca) é
r(x) = x
– A altura da casca é a diferença entre o valor superior e o inferior de y, isto é
h(x) = raizx - 0 = raizx
– O volume de uma casca elementar é
dV = 2pi,r(x),h(x),dx = 2pi,x,raizx,dx

Passo 3

Somando todas as cascas de x=0 até x=4, o volume total é
V = integral0^4 2pi,x,raizx,dx = 2pi integral0^4 x^3/2,dx

Passo 4

Calculemos a integral:
integral x^3/2,dx = 25,x^5/2,
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V = 2pi cdot 25l[x^5/2r]0^4 = 4pi5l(4^5/2-0r) = 4pi5cdot 32 = 128pi5

Resposta

V = 128pi5

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