Resolver os sistemas de equações diferenciais para as funções de t:
l d xd t=y+4 t d yd t=4 x+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais onde temos duas funções, [x(t)) e , que dependem do tempo . O sistema é o seguinte:
Isso está na área de sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar métodos de substituição e derivação para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis para encontrar uma equação só em termos de x(t) . Para isso, vamos diferenciar a primeira equação em relação ao tempo t :
d^2xdt^2 = ddt(dxdt) = ddt(y + 4t)

Passo 3

Derivando o lado direito, temos:
d^2xdt^2 = dydt + 4
Sabemos pelo sistema original que dydt = 4x + t^2 , então substituímos:
d^2xdt^2 = 4x + t^2 + 4

Passo 4

Agora, reorganizamos a equação para deixar tudo igual a zero:
d^2xdt^2 - 4x = t^2 + 4
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Vamos resolver a parte homogênea primeiro:
d^2xdt^2 - 4x = 0

Passo 5

Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica:
r^2 - 4 = 0 implies r = pm 2
Então, a solução geral da parte homogênea é:
xh(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t
Onde C1 e C2 são constantes que determinaremos depois.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular xp(t) para a equação completa:
d^2xdt^2 - 4x = t^2 + 4
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular na forma:
xp(t) = At^2 + Bt + C

Passo 7

Calculamos as derivadas necessárias:
dxpdt = 2At + B
d^2xpdt^2 = 2A
Substituindo na equação diferencial:
2A - 4(At^2 + Bt + C) = t^2 + 4
2A - 4At^2 - 4Bt - 4C = t^2 + 4

Passo 8

Agrupando os termos semelhantes:
-4At^2 - 4Bt + (2A - 4C) = t^2 + 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para t^2 :
-4A = 1 implies A = -14
Para t :
-4B = 0 implies B = 0
Para o termo constante:
2A - 4C = 4 implies 2(-14) - 4C = 4 implies -12 - 4C = 4 implies -4C = 92 implies C = -98

Passo 9

Então, a solução particular é:
xp(t) = -14t^2 - 98

Passo 10

A solução geral de x(t) é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t - 14t^2 - 98

Passo 11

Agora que temos x(t) , podemos encontrar y(t) usando a primeira equação do sistema original:
dxdt = y + 4t
Calculando dxdt :
dxdt = 2C1 e^2t - 2C2 e^-2t - 12t
Então:
2C1 e^2t - 2C2 e^-2t - 12t = y + 4t
Isolando y :
y(t) = 2C1 e^2t - 2C2 e^-2t - 12t - 4t
y(t) = 2C1 e^2t - 2C2 e^-2t - 92t

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t - 14t^2 - 98
y(t) = 2C1 e^2t - 2C2 e^-2t - 92t
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados