Resolver os sistemas de equações diferenciais para as funções de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais onde temos duas funções, [x(t)) e
, que dependem do tempo
. O sistema é o seguinte:
Isso está na área de sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar métodos de substituição e derivação para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis para encontrar uma equação só em termos de
. Para isso, vamos diferenciar a primeira equação em relação ao tempo
:
Passo 3
Derivando o lado direito, temos:
Sabemos pelo sistema original que
, então substituímos:
Passo 4
Agora, reorganizamos a equação para deixar tudo igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Vamos resolver a parte homogênea primeiro:
Passo 5
Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinaremos depois.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular na forma:
Passo 7
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 8
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral de
é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 11
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a primeira equação do sistema original:
Calculando
:
Então:
Isolando
:
Resposta
As soluções do sistema são:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.