Cada integral abaixo descreve o volume de um sólido de revolução. Descreva o sólido.
pi integral0^1(x^4-x^6) d x

Passo 1

O enunciado nos dá o volume
pi integral0^1l(x^4-x^6r),dx
e diz que ele vem de um sólido de revolução. O conteúdo é o método dos discos (ou anéis), onde subtraímos o volume interno do externo.

Passo 2

No método dos anéis, escrevemos
V = pi integrala^bl(R(x)^2 - r(x)^2r),dx
em que R(x) é o raio externo do disco e r(x) é o raio interno (buraco).

Passo 3

Comparando
piintegral0^1l(x^4-x^6r),dx Longrightarrow R(x)^2=x^4,;r(x)^2=x^6
Logo,
R(x)=x^2, r(x)=x^3

Passo 4

Os raios vêm de curvas no plano xy: a curva mais alta é y=x^2 e a mais baixa é y=x^3, para 0<= x<=1. Ao girar essa faixa em torno do eixo x, geramos um sólido com “espessura” entre y=x^3 (furo interno) e y=x^2 (borda externa).

Resposta

O sólido é gerado ao revolver, em torno do eixo x, a região do plano limitada pelas curvas y=x^2 e y=x^3 para 0<= x<=1. É um “anel” cujo raio externo varia como x^2 e o interno como x^3.

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