Escreva uma integral dupla equivalente com ordem de integração invertida.
integral0^3 / 2 integral0^9-4 x^2 16 x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a área de integração está definida e reescrever os limites de forma invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. A integral dada é:
integral0^32 integral0^9 - 4x^2 16x , dy , dx
Aqui, x varia de 0 a 32 e, para cada valor de x , y varia de 0 a 9 - 4x^2 . Isso descreve uma região no plano xy .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que y seja a primeira variável a variar. Primeiro, vamos encontrar os limites de y . Observando a função y = 9 - 4x^2 , podemos ver que y varia de 0 até 9, já que quando x = 0 , y = 9 , e quando x = 32 , y = 0 .

Passo 4

Agora, para cada valor fixo de y , precisamos determinar os limites de x . A equação y = 9 - 4x^2 pode ser rearranjada para x em termos de y :
4x^2 = 9 - y implies x^2 = 9 - y4 implies x = raiz9 - y4 = raiz9 - y2
Portanto, para um dado y , x varia de 0 até raiz9 - y2 .

Passo 5

Com isso, podemos reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida. Agora, y varia de 0 a 9, e para cada y , x varia de 0 a raiz9 - y2 . A integral fica assim:
integral0^9 integral0^raiz9 - y2 16x , dx , dy

Resposta

A integral dupla com ordem de integração invertida é:
integral0^9 integral0^raiz9 - y2 16x , dx , dy

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