Escreva uma integral dupla equivalente com ordem de integração invertida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a área de integração está definida e reescrever os limites de forma invertida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. A integral dada é:
Aqui,
varia de 0 a
e, para cada valor de
,
varia de 0 a
. Isso descreve uma região no plano
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que
seja a primeira variável a variar. Primeiro, vamos encontrar os limites de
. Observando a função
, podemos ver que
varia de 0 até 9, já que quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
Agora, para cada valor fixo de
, precisamos determinar os limites de
. A equação
pode ser rearranjada para
em termos de
:
Portanto, para um dado
,
varia de 0 até
.
Passo 5
Com isso, podemos reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida. Agora,
varia de 0 a 9, e para cada
,
varia de 0 a
. A integral fica assim:
Resposta
A integral dupla com ordem de integração invertida é: