Calcule a integral integral sen^2(x) cos ^2(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos a integral integral sin^2(x) cos^2(x) , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar expressões envolvendo senos e cossenos elevados ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que relaciona sin^2(x) e cos^2(x) com funções de ângulo duplo. Sabemos que:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Vamos usar essas identidades para reescrever a expressão sin^2(x) cos^2(x).

Passo 3

Substituindo as identidades na expressão original, temos:
sin^2(x) cos^2(x) = ( 1 - cos(2x)2 ) ( 1 + cos(2x)2 )
Agora, vamos multiplicar esses dois termos:
( 1 - cos(2x)2 ) ( 1 + cos(2x)2 ) = (1 - cos^2(2x))4

Passo 4

Observamos que 1 - cos^2(2x) é outra identidade trigonométrica conhecida:
1 - cos^2(2x) = sin^2(2x)
Portanto, podemos reescrever a expressão como:
sin^2(2x)4

Passo 5

Agora, vamos utilizar novamente a identidade para sin^2 com ângulo duplo:
sin^2(2x) = 1 - cos(4x)2
Substituindo na expressão anterior:
sin^2(2x)4 = 1 - cos(4x)8

Passo 6

Agora, nossa integral original fica:
integral sin^2(x) cos^2(x) , dx = integral 1 - cos(4x)8 , dx = 18 integral (1 - cos(4x)) , dx
Vamos separar a integral:
18 ( integral 1 , dx - integral cos(4x) , dx )

Passo 7

Calculando cada parte:
integral 1 , dx = x
integral cos(4x) , dx = sin(4x)4
Substituindo de volta:
18 ( x - sin(4x)4 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão final:
x8 - sin(4x)32 + C

Resposta

A integral integral sin^2(x) cos^2(x) , dx é igual a:
x8 - sin(4x)32 + C

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