Calcule a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar expressões envolvendo senos e cossenos elevados ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que relaciona
e
com funções de ângulo duplo. Sabemos que:
Vamos usar essas identidades para reescrever a expressão
.
Passo 3
Substituindo as identidades na expressão original, temos:
Agora, vamos multiplicar esses dois termos:
Passo 4
Observamos que
é outra identidade trigonométrica conhecida:
Portanto, podemos reescrever a expressão como:
Passo 5
Agora, vamos utilizar novamente a identidade para
com ângulo duplo:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 6
Agora, nossa integral original fica:
Vamos separar a integral:
Passo 7
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a expressão final:
Resposta
A integral
é igual a: