Para cada integral abaixo diga se é uma funçāo dada por uma integral,uma integral definida ou uma integral imprópria.
\int_{x}^{1} \ln (t) d t
Escolher...
\int_{-\infty}^{-1} e^{2 x} d x
Escolher...
\int_{1}^{t} \sqrt{x^{2}+4 x} d x
Escolher...
\int_{-3}^{0} \frac{1}{2 x^{2}-18} d x
Escolher...
\int_{1}^{2} \ln (x) d x
Escolher...
\int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x
Escolher...

Passo 1

O enunciado apresenta seis integrais e pede para classificá-las como função dada por uma integral (ou seja, com limite de integração variável), integral definida (limites constantes e integranda contínua) ou integral imprópria (limite infinito ou descontinuidade da integranda).

Passo 2

Definições:
  • Função dada por uma integral: pelo menos um limite de integração é variável.
  • Integral definida: ambos os limites são constantes e a integranda é contínua em todo o intervalo.
  • Integral imprópria: ou um limite de integração é infinito, ou a integranda tem descontinuidade no intervalo de integração.

Passo 3

Em \int_{x}^{1}\ln(t)\,dt e em \int_{1}^{t}\sqrt{x^{2}+4x}\,dx aparece um dos limites x ou t como variável, sem problemas de continuidade do integrando. Logo, cada uma delas define uma função dada por uma integral.

Passo 4

Em \int_{-\infty}^{-1}e^{2x}\,dx o limite inferior é -\infty, caracterizando uma integral imprópria.
Em \int_{-3}^{0}\frac{1}{2x^{2}-18}\,dx há descontinuidade em x=-3 porque 2x^{2}-18=0, também é imprópria.
Em \int_{1}^{2}\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx há descontinuidade em x=1, logo é outra integral imprópria.

Passo 5

Em \int_{1}^{2}\ln(x)\,dx ambos os limites são constantes e \ln(x) é contínua em [1,2], o que a caracteriza como integral definida.

Resposta

\int_{x}^{1}\ln(t)\,dt: função dada por uma integral \int_{-\infty}^{-1}e^{2x}\,dx: integral imprópria \int_{1}^{t}\sqrt{x^{2}+4x}\,dx: função dada por uma integral \int_{-3}^{0}\frac{1}{2x^{2}-18}\,dx: integral imprópria \int_{1}^{2}\ln(x)\,dx: integral definida \int_{1}^{2}\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx: integral imprópria

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