Enuncie o teorema de Bloch e descreva qualitativamente o espectro de energia do electrão num cristal. Distinga isolador, metal e semicondutor.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: enunciar o teorema de Bloch, descrever qualitativamente o espectro de energia de um eletrão numa rede periódica e, por fim, distinguir isolador, metal e semicondutor. O conteúdo envolve a solução da equação de Schrödinger numa potencial periódico, a formação de bandas de energia E_n(\mathbf{k}) e a posição do nível de Fermi.

Passo 2

Teorema de Bloch. Considere um potencial V(\mathbf{r}) que satisfaça
V(\mathbf{r}+\mathbf{T}) = V(\mathbf{r})
para todo vetor de translação de rede \mathbf{T}. Então os autoestados da equação de Schrödinger
\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})\right]\psi(\mathbf{r}) = E\,\psi(\mathbf{r})
podem ser escolhidos na forma
\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\,u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}),
onde u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{T}) = u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}). Aqui n é o índice de banda e \mathbf{k} é o vetor de onda definido dentro da zona de Brillouin.

Passo 3

Espectro de energia qualitativo. Substituir a forma de Bloch na equação de Schrödinger leva a valores de energia contínuos em cada banda n, gerando curvas E_n(\mathbf{k}) periódicas no espaço de \mathbf{k}. Devido à interferência e reflexão de Bragg nos limites da zona de Brillouin, surgem lacunas proibidas (gaps) entre bandas adjacentes. Assim temos regiões de energia permitida (bandas) e regiões de energia proibida (lacunas), com largura típica de dezenas de eletrón-volts.

Passo 4

Classificação dos materiais pelo preenchimento das bandas e pelo tamanho da lacuna em relação à energia térmica k_B T:
Metal: o nível de Fermi E_F recai no interior de uma banda parcialmente preenchida, permitindo muitos estados disponíveis para condução elétrica.
Isolador: todas as bandas inferiores estão completamente cheias, existe uma lacuna grande \;E_g\gg k_B T\; até à banda de condução e E_F fica dentro dessa lacuna; a condução é praticamente nula a T ambiente.
Semicondutor: estrutura similar ao isolador, mas com lacuna moderada \;E_g\sim\text{alguns eV}\sim k_B T\;, de modo que poucos electrões podem ser excitados termicamente para a banda de condução, gerando condutividade controlável.

Resposta

Teorema de Bloch: em potencial periódico V(\mathbf{r}+\mathbf{T})=V(\mathbf{r}), as soluções da equação de Schrödinger podem ser escritas como
\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\,u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}),\quad u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{T})=u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}).
Espectro de energia: surgem bandas de energia E_n(\mathbf{k}) separadas por lacunas proibidas devido à difração de Bragg.
Metal: E_F dentro de banda parcialmente preenchida → muitos estados livres → alta condutividade.
Isolador: bandas cheias e lacuna grande ( E_g\gg k_B T) → quase sem elétrons livres à T ambiente.
Semicondutor: bandas cheias e lacuna moderada ( E_g\sim k_B T) → ativação térmica gera portadores e condutividade ajustável.

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