Enuncie o teorema de Bloch e descreva qualitativamente o espectro de energia do electrão num cristal. Distinga isolador, metal e semicondutor.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: enunciar o teorema de Bloch, descrever qualitativamente o espectro de energia de um eletrão numa rede periódica e, por fim, distinguir isolador, metal e semicondutor. O conteúdo envolve a solução da equação de Schrödinger numa potencial periódico, a formação de bandas de energia
e a posição do nível de Fermi.
Passo 2
Teorema de Bloch. Considere um potencial
que satisfaça
para todo vetor de translação de rede
. Então os autoestados da equação de Schrödinger
podem ser escolhidos na forma
onde
. Aqui
é o índice de banda e
é o vetor de onda definido dentro da zona de Brillouin.
Passo 3
Espectro de energia qualitativo. Substituir a forma de Bloch na equação de Schrödinger leva a valores de energia contínuos em cada banda
, gerando curvas
periódicas no espaço de
. Devido à interferência e reflexão de Bragg nos limites da zona de Brillouin, surgem lacunas proibidas (gaps) entre bandas adjacentes. Assim temos regiões de energia permitida (bandas) e regiões de energia proibida (lacunas), com largura típica de dezenas de eletrón-volts.
Passo 4
Classificação dos materiais pelo preenchimento das bandas e pelo tamanho da lacuna em relação à energia térmica
:
Metal: o nível de Fermi recai no interior de uma banda parcialmente preenchida, permitindo muitos estados disponíveis para condução elétrica.
Isolador: todas as bandas inferiores estão completamente cheias, existe uma lacuna grande até à banda de condução e
fica dentro dessa lacuna; a condução é praticamente nula a
ambiente.
Semicondutor: estrutura similar ao isolador, mas com lacuna moderada , de modo que poucos electrões podem ser excitados termicamente para a banda de condução, gerando condutividade controlável.
Metal: o nível de Fermi
Isolador: todas as bandas inferiores estão completamente cheias, existe uma lacuna grande
Semicondutor: estrutura similar ao isolador, mas com lacuna moderada
Resposta
Teorema de Bloch: em potencial periódico
, as soluções da equação de Schrödinger podem ser escritas como
Espectro de energia: surgem bandas de energia
separadas por lacunas proibidas devido à difração de Bragg.
Metal: dentro de banda parcialmente preenchida → muitos estados livres → alta condutividade.
Isolador: bandas cheias e lacuna grande ( ) → quase sem elétrons livres à
ambiente.
Semicondutor: bandas cheias e lacuna moderada ( ) → ativação térmica gera portadores e condutividade ajustável.
Metal:
Isolador: bandas cheias e lacuna grande (
Semicondutor: bandas cheias e lacuna moderada (