Um modelo para a banda de condução num metal em 2 dimensões:
\epsilon(\vec{k})=-t\left[\cos \left(2 k_{x}\right)+\cos \left(2 k_{y}\right)\right] \operatorname{com} t=5 \mathrm{eV}.
(a) Calcule a massa efectiva no fundo da banda.
(b) Escreva a velocidade em função do momento.
(c) Que sinal tem a constande de Hall se a energia de Fermi for 9 eV ?
(d) Que sinal tem a constante de Hall se a energia de Fermi for -9 eV ?

Passo 1

O enunciado dá a relação de dispersão em 2D
\epsilon(\vec k) = -\,t\bigl[\cos(2k_x)+\cos(2k_y)\bigr]
com t=5\text{ eV}, e pede:
(a) massa efetiva no fundo da banda;
(b) velocidade de grupo \vec v(\vec k);
(c) sinal da constante de Hall para \epsilon_F=9\text{ eV};
(d) sinal da constante de Hall para \epsilon_F=-9\text{ eV}.

Passo 2

Para massa efetiva em torno de um mínimo de banda \vec k_0=0 usamos
\frac{1}{m^*} \;=\;\frac{1}{\hbar^2}\,\frac{\partial^2\epsilon}{\partial k_x^2}\Bigm|_{\vec k=0}
Calculando
\frac{\partial\epsilon}{\partial k_x} =-t\bigl(-2\sin(2k_x)\bigr)=2t\sin(2k_x), \quad \frac{\partial^2\epsilon}{\partial k_x^2} =4t\cos(2k_x),
logo em k_x=0 temos \partial^2\epsilon/\partial k_x^2=4t. Então
m^*=\frac{\hbar^2}{4t}.

Passo 3

A velocidade de grupo vem de \vec v(\vec k)=(1/\hbar)\nabla_{\vec k}\,\epsilon(\vec k). Assim
\vec v(\vec k) =\frac{1}{\hbar}\Bigl(\frac{\partial\epsilon}{\partial k_x},\,\frac{\partial\epsilon}{\partial k_y}\Bigr) =\frac{1}{\hbar}\bigl(2t\sin(2k_x),\,2t\sin(2k_y)\bigr).

Passo 4

O espectro varia de \epsilon_{\min}=-2t=-10\text{ eV} até \epsilon_{\max}=2t=10\text{ eV}.
Para \epsilon_F=9\text{ eV} estamos muito próximos do topo da banda, onde as cargas são lacunas (holes) de carga efetiva +e. Portanto a constante de Hall é positiva.

Passo 5

Para \epsilon_F=-9\text{ eV} estamos muito próximos do fundo da banda, onde as cargas são elétrons de carga -e. Portanto a constante de Hall é negativa.

Resposta

(a) \displaystyle m^*=\frac{\hbar^2}{4t}.
(b) \displaystyle \vec v(\vec k)=\frac{2t}{\hbar}\bigl(\sin(2k_x),\,\sin(2k_y)\bigr).
(c) positiva.
(d) negativa.

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