Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.
pi integral0^pi / 2 cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
V = pi integral0^pi/2 cos^2(x),dx
e diz que ela representa o volume de um sólido. O conteúdo envolvido é o método dos discos (ou método dos discos/círculos) para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, reconhecemos que a fórmula genérica
V = pi integrala^b [f(x)]^2,dx
corresponde ao volume do sólido obtido ao girar a região
R = (x,y)mid a<= x<= b,;0<= y<= f(x)
em torno do eixo x. Aqui, f(x)=cos(x) e o intervalo é 0<= x<= pi/2. Logo, a região é
R = (x,y)mid 0<= x<= pi/2,;0<= y<= cos(x)

Passo 3

Ao girar R em torno do eixo x, cada fatia em x gera um disco de raio
r(x)=cos(x)
e espessura dx. A área de cada disco é
pil[cos(x)r]^2,
o que leva exatamente à integral dada.

Resposta

O sólido é o que se obtém ao girar, em torno do eixo x, a região limitada pela curva
;y=cos(x), pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=pi/2.

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