Em cada um dos problemas de 1 a 8 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução complementar (associada à equação homogênea) e da solução particular (associada ao lado direito da equação). Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, assumimos que a solução é da forma
, onde
é um número que vamos determinar. Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir por
(já que
):
Resolvendo para
:
Aqui,
é a unidade imaginária. Então, a solução complementar é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação completa. O lado direito da equação é
, que é uma combinação de funções seno, cosseno e termos polinomiais multiplicados por essas funções trigonométricas.
Vamos tratar cada termo separadamente.
Parte 1: Encontrando uma solução para
Assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para esta parte é:
Parte 2: Encontrando uma solução para
Para este termo, vamos assumir uma solução da forma:
Essa forma é escolhida porque, ao derivar, termos semelhantes podem surgir devido à presença de
multiplicado por funções trigonométricas. Calculando as derivadas e substituindo na equação, e depois igualando os coeficientes dos termos semelhantes, podemos resolver para
,
,
e
.
Após realizar os cálculos (que envolvem derivadas e organização dos termos), encontramos:
Portanto, a solução particular para esta parte é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais específicas do problema.