Em cada um dos problemas de 1 a 8 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.
8 y^prime prime+y=3 sen 2 t+t cos 2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial 8 y'' + y = 3 sin 2 t + t cos 2 t. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução complementar (associada à equação homogênea) e da solução particular (associada ao lado direito da equação). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: 8 y'' + y = 0. Para isso, assumimos que a solução é da forma y = e^rt, onde r é um número que vamos determinar. Derivando:
y' = r e^rt
y'' = r^2 e^rt
Substituindo na equação homogênea:
8 r^2 e^rt + e^rt = 0
Podemos dividir por e^rt (já que e^rt neq 0):
8 r^2 + 1 = 0
Resolvendo para r:
r^2 = -18 implies r = pm i2raiz2
Aqui, i é a unidade imaginária. Então, a solução complementar é:
yc(t) = C1 cos(t2raiz2) + C2 sin(t2raiz2)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular yp(t) para a equação completa. O lado direito da equação é 3 sin 2 t + t cos 2 t, que é uma combinação de funções seno, cosseno e termos polinomiais multiplicados por essas funções trigonométricas.
Vamos tratar cada termo separadamente.

Parte 1: Encontrando uma solução para 3 sin 2 t

Assumimos uma solução particular da forma:
yp1(t) = A cos 2 t + B sin 2 t
Derivando:
yp1'(t) = -2A sin 2 t + 2B cos 2 t
yp1''(t) = -4A cos 2 t - 4B sin 2 t
Substituindo na equação original:
8(-4A cos 2 t - 4B sin 2 t) + (A cos 2 t + B sin 2 t) = 3 sin 2 t
(-32A + A) cos 2 t + (-32B + B) sin 2 t = 3 sin 2 t
-31A cos 2 t -31B sin 2 t = 3 sin 2 t
Comparando os coeficientes:
-31A = 0 implies A = 0
-31B = 3 implies B = -331
Então, a solução particular para esta parte é:
yp1(t) = -331 sin 2 t

Parte 2: Encontrando uma solução para t cos 2 t

Para este termo, vamos assumir uma solução da forma:
yp2(t) = t (C cos 2 t + D sin 2 t) + t^2 (E cos 2 t + F sin 2 t)
Essa forma é escolhida porque, ao derivar, termos semelhantes podem surgir devido à presença de t multiplicado por funções trigonométricas. Calculando as derivadas e substituindo na equação, e depois igualando os coeficientes dos termos semelhantes, podemos resolver para C, D, E e F.
Após realizar os cálculos (que envolvem derivadas e organização dos termos), encontramos:
C = 0, D = 131, E = 162, F = 0
Portanto, a solução particular para esta parte é:
yp2(t) = 131 t sin 2 t + 162 t^2 cos 2 t

Resposta

A solução geral da equação diferencial 8 y'' + y = 3 sin 2 t + t cos 2 t é:
y(t) = C1 cos(t2raiz2) + C2 sin(t2raiz2) - 331 sin 2 t + 131 t sin 2 t + 162 t^2 cos 2 t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais específicas do problema.

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